Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Легко убедиться, что если квадратичная форма <? является определенной, то из уравнений (14), даже если число их меньше числа неизвестных, можно однозначно определить эти неизвестные. 166 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
так как в достаточно малой окрестности I начала координат эти уравнения будут удовлетворяться только значениями
^v = О (V = 1, 2,..., N).
Заметим прежде всего, что функции f но могут все обратиться в нуль, если не обращается в нуль выражение (І8); покажем, что при заданном определенном характере квадратичной формы (19) выражение (18) в окрестности I начала координат может обратиться в нуль только тогда, когда обращаются в нуль все аргументы.
В самом деле, полагаем Z4 в виде z4 = рач, где
N N
2^ = 1, р2= 2
V=I V=I
это (если воспользоваться языком пространства п измерений) равнозначно введению модуля р и направляющих косинусов вектора, приложенного в начале координат и имеющего концом точку с координатами Zi, Z2,..., sN. В силу предположения, что квадратичная форма <р является определенной, наименьшее из абсолютных значений формы
cPa=Tf 2 6'P aV aP V, р = 1
для действительных значений величин а, удовлетворяющих уравнению гиперсферы с центром в начале координат и с радиусом, равным единице,
N
является, конечно, числом М, большим нуля. С другой стороны, функция ф, если для S берутся указанные выше выражения, принимает вид
P3XOiI. а2, <*п\р)>
где X Для достаточно малых значений р является конечной и непрерывной функцией своих аргументов и, следовательно, в окрестности I начала координат по абсолютной величине остается меньше вполне определенной положительной постоянной M'. После этого непосредственно ясно, что если не исчезают все Z4, т. е. если имеем P > 0, то не может выполняться равенство
® -Jr ф = о,
потому что его левая часть, если разделить ее на р9, принимает вид
Ta+px; § s. геометрическое исследование плоских решетчатых балок
167
абсолютное значение первого слагаемого не может быть меньше М, тогда как абсолютное значение второго при р < MjM' будет, конечно, меньше М.
16. Предположения аналитического характера, сделанные выше и заключающиеся в том, что ранг матрицы (16) меньше т и квадратичная форма <р определенная, можно истолковать наглядно. Из тождества (18) следует, что в разложении функции
т—1
Ґт+2ЬҐН (20)
й=1
по степеням z часть первой степени равна нулю, в то время как часть второй степени представляется в виде определенной квадратичной формы <р.
Поэтому если мы будем рассматривать координаты z как бесконечно малые или, что равносильно, вместо каждого Z4 представим соответствующий дифференциал dz4, то увидим, что первый дифференциал функции (20) будет равен нулю, тогда как второй дифференциал определится формой <f(dz); так как эта последняя представляет собой определенную квадратичную форму, то мы заключаем, что для функции (20) выполняются условия существования максимума или минимума. Наоборот, если эти условия удовлетворены, то достаточно вместо отдельных ds4 подставить соответствующие z4, для того чтобы снова придти к равенству (18), где функция <р будет представлять собой определенную квадратичную форму.
Теперь, на основании формы (20) и теории условного максимума или минимума, очевидно, что существование максимума или минимума для функции (20) равносильно существованию максимума или минимума для функции fm, согласно условиям fx~f<i~ • • • = fm-1 = 0. Таким образом, мы видим, как из существования такого условного максимума или минимума необходимо следует, что система уравнений (14) способна определить в действительной области число неизвестных, большее числа самих уравнений.
Отсюда имеем непосредственную иллюстрацию случая системы с п узлами и п стержнями, рассмотренной в конце п. 14. Она вообще может принимать бесконечность конфигураций, множество которых начинается с' п = 4 и растет вместе с щ но для какого-нибудь и 4 система будет неизменяемой, когда длина
In = V^n-OCifjTiyn-Vif стержня P1Pn достигает своего максимума, совместного с условиями
h = V&i+I — *<)а + (Уі+1 — У if (» = 1, 2, n — l). где I1 означают п — 1 заданных чисел. гл. xiv. статика стержневых систем. нитей и тонких стержней
17. Другие более наглядные примеры особых неизменяемых ферм [т. е. ферм, не удовлетворяющих условию (13)] были найдены Е. Кбттером (Е. Kotter) >). Основные указанные им типы получаются на основании следующих соображений.
а) Рассмотрим многоугольник P1P2 • • ¦ Р<т (фиг. 50) с 2Je сторонами и с соответствующими диагоналями Р{Ръ+{ (« = 1, 2, ..., к). Так как n = 2Je и т = Ък и, следовательно, 2» — 3 — m = Je— 3, то в общем случае, как только будет Je > 3, т. е. начиная с восьмиугольника, мы будем иметь неопределенность, соответствующую
Je — 3 произвольным параметрам; но если каждая сторона параллельна своей противоположной, то ферма будет для какого угодно Jc > 3 фермой без лишних стержней.
б) Пусть в двух многоугольниках P1P2 ... Pk и P1Pa • • • Р'к (фиг. 51) с одним и тем же числом Jc сторон вершины с одинаковыми индексами соединены стержнями. Так же как и в предыдущем случае, мы будем иметь 3Jc стержней и 2Je узлов, так что в общем случае система при Je > 3 будет неопределенной кратности (Je — 3); но если, например, многоугольник P1Pr2 ... Pk будет внутренним для другого и, 'кроме того, будет иметь стороны, параллельные сторонам многоугольника P1P2 ... Pje и соответственно меньшие этих сторон, то ферма будет неизменяемой.
