Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что это условие выполняется, и укажем критерий, позволяющий устранить неопределенность, если принять во внимание малые деформации пола, сохраняя условие, что тело является абсолютно твердым.
Предположим, что под действием нагрузки, каждая из опор Pi несколько оседает, так что после установления равновесия она не лежит уже в плоскости г = 0, а находится от нее (в направлении вниз) на расстоянии некоторого малого количества Zi. Это количество Zi можно рассматривать как третью координату точки опоры, если условиться, что за положительное направление оси z мы будем считать направление, обращенное вниз.
После этого нет ничего более естественного, как допустить, что координата Zi пропорциональна той части полной нагрузки Р, которая должна приходиться на опору Pi, т. е. (на основании принципа равенства действия и противодействия) пропорциональна Фг-. Обозначив через 1/? (положительный) коэффициент пропорциональности (если свойства опорной плоскости одинаковы во всех точках опоры, то будет иметь численное значение Ь, не зависящее от индекса г), можно написать
Если допустить, кроме того, что оседание опор не связано ни с какой деформацией стоящего над ними тела, то п точек опоры, лежащие в плоскости і = 0 в случае абсолютно твердой опорной плоскости, будут находиться в одной и той же плоскости н в рассматриваемом нами случае. Эта плоскость будет очень близка к плоскости z = 0 (находясь несколько ниже ее), если предположить, что вертикальные перемещения отдельных точек опоры Zi = ФJlci очень малы.
Возьмем уравнение плоскости в виде
Z = \х -(- ру -)- V
(где коэффициенты X, [X, ч заранее не определены) и выразим то обстоятельство, что оно удовлетворяется координатами Xi, у і, Zi любой точки Pi, тогда будем иметь
Фі = Iei (lx{ + т + V) (г = 1, 2.....и). (2) 126
гл. xiii. статика. твердого тела
Таким образом, комбинируя предположения, что каждая опора оседает пропорционально приходящейся на нее нагрузке и что деформация опертого тела равна нулю (или ничтожна по сравнению с деформацией опорной плоскости), мы достигнем того, что выразим все реакции Ф< посредством только трех вспомогательных неизвестных X, jx, v.
При этих условиях исчезает всякая неопределенность: достаточно обратиться к трем статическим уравнениям (1) и подставить в них, вместо Ф,-, выражения (2), чтобы получить из них значения X, ч. Внося затем эти значения в равенства (2), мы получим окончательные значения реакций.
Выполнить вычисления, написав при этом дополнительные условия, которые требуются для того, чтобы значения, получающиеся для Ф<, были все положительными.
Рассмотреть случай четырех опор, совпадающих с вершинами прямоугольника, предполагая все коэффициенты осадки равными между собой (fc, = Tc).
27. Прямолинейная плотина с трапецоидальным сечением ABCJD высотой А н шириной d по верхнему гребню имеет вертикальную стенку (со следом AB в плоскости сечения) и откос (со следом ВС), наклоненный к вертикали под углом а, так что длина основания сечения равна
Предположив плотину однородной, с весом р на единицу объема, определить моменты Гь, Г0 (на единицу длины) относительно следов Ь и с вертикальной стенки и откоса.
Проверить, что момент устойчивости есть Г;, и что он увеличивается при равных сечении и высоте вместе с углом наклона а откоса. Наименьшая величина Гь будет соответствовать, таким образом, прямоугольному
28. Дымовая труба высоты h имеет цилиндрическую полость радиуса г и постоянной толщины s. Вес единицы объема есть р. Труба подвергается действию ветра.
Полное действие ветра при наибольшей его силе можно заменить горизонтальной силой X, линия действия которой пересекает ось трубы на расстоянии, равном 3/б высоты от поверхности земли.
Определить коэффициент устойчивости.
29. Однородный тяжелый цилиндр радиусом г, параметр трения качеиия которого есть А, опирается на наклонную плоскость; образующая соприкосновения нормальна к линии наибольшего наклона. Каков наибольший угол наклона а, при котором цилиндр останется в равновесии? [tg a = Hjr.]
80. Однородный тяжелый шар опирается на горизонтальную плоскость. Коэффициент трения скольжения f = '/б; параметр трения качения A1 = 0,5 мм.
Требуется сдвинуть шар, прикладывая к нему на высоте 8 от плоскости опоры горизонтальную силу наименьшей возможной величины.
Показать, что шар из положения равновесия начнет катиться или скользить, в зависимости от того, будет ли высота 8 больше или меньше 2,5 мм.
31. Определить верхний предел силы тяги локомотива на подъеме в 25°/оо при коэффициенте сцепления, равном '/в (ср. п. 34). (При весе локомотива в 100 т и весе поезда в 300 т наибольшая сила тяги будет равна 2,5 т.)
82. Материальная точка (подвижная) P притягивается другими-точками (закрепленными) Р< (» = 1, 2, ..., п) прямо пропорционально массе соответ-
d -(- h tg а.
сечению упражнения
147
ствующей притягивающей точки и расстоянию PP,-. Показать, что центр тяжести G точек P1- является положением устойчивого равновесия точки P (ср. гл. X, п. 14)
