Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
18. Замечательный класс стержневых систем, для которых непосредственно очевидно, что они неизменяемы и не имеют лишних стержней, получается при помощи следующего построения: пусть мы имеем три узла P1, P2, P8 (фиг. 52), соединенные попарно стержнями, и пусть всякий другой узел определяется посредством двух стержней, выходящих из двух вершин этого треугольника или из двух каких угодно узлов, которые таким образом последовательно получаются (включая и первые три). На фиг. 52
!) Festschrift Heinrich Muller — Breslqu; Лейпциг, 1912, стр. 61. § s. геометрическое исследование плоских решетчатых балок
169
точка P1 соединена с P2 и Ps, в то время как точка P6 соединяется с P1 и Pi.
Полезно отметить, что эта структура не является наиболее общей структурой неизменяемых ферм без лишних стержней; это следует уже из существования особых ферм, которые мы рассматривали в предыдущем пункте, но даже оставляя в стороне особые фермы и ограничиваясь стержневыми системами, удовлетворяющими усло-
мы- легко обнаружим неизменяемость и отсутствие лишних стержней в ферме (фиг. 53— шестиугольник с тремя диагоналями), которая не является фермой указанной выше структуры.
Систематическое изучение различных типов (неособых) неизменяемых стержневых систем без лишних стержней было недавно предпринято X. Поллячек-Гейрингер '), которая пришла к заключению, что, для того чтобы ферма была неизменяемой и не имела лишних стержней, необходимо и достаточно, чтобы никакая из содержащихся в ней стержневых систем не имела лишних стержней.
19. Вернемся опять к стержневым системам, структура которых определена построением предыдущего пункта. Между ними заслуживают особого внимания так называемые треугольные системы, которые внутри рассматриваемого класса ферм будут определяться условием, что два узла, определяющие новый узел посредством двух выходящих из них стержней, сами соединены одним стержнем. Такова ферма, изображенная на фиг. 54, между тем как ферма на фиг. 52 не будет принадлежать рассматриваемому типу, так как в ней узел P6 соединен с узлами P1 и Pi, не соединенными между собой одним стержнем. Причина названия таких ферм треугольными очевидна: рассматриваемые фермы таковы, что каждый стержень является стороной, по крайней мере, одного треугольника.
1) Zeitschrift fur ang. Math. и. Mech,, т. 7 (1927), стр, 58, 72, 170 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
Дальнейшее разделение приводит к простым треугольным фермам. Этим именем называют треугольные системы, в которых треугольники следуют в таком порядке, что первый треугольник имеет общий стержень только со вторым треугольником, второй имеет два общих стерясня с первым и третьим треугольниками, третий — с вторым и четвертым, и т. д., предпоследний — с последним. Как видно из фиг. 55, контур фермы составлен из стержней, каждый из которых принадлежит только одному треугольнику; эти стержни называются внешними. Остальные стержни, каждый из которых является общим для двух, и только для двух, треугольников, называются внутренними (или также, когда ферма расположена в вертикальной плоскости, укосинами, если они наклонны, и стойками, если вертикальны).
В этих простых треугольных системах все узлы лежат на контуре; между ними будут два, и только два узла (на фиг. 55 P1, P6),
в которых сходятся только два стержня, тогда как в каждом из остальных сходятся три ИЛИ Четыре СтерЖНЯ. ЭТИМИ ДВуМЯ К0НЦЄ-
Фиг. 54.
Фиг. 55.
выми узлами контур делится на две ломаные линии (на фиг. 55 P1P2P3PiP5 и P1P9P8P7P6P6), которые, когда ферма находится в своем типичном положении в вертикальной плоскости, с концами на одинаковой высоте, удобно назвать нижним и соответственно верхним поясами. Если число узлов есть п, то составляющих ферму треугольников будет п — 2 и, смотря по тому, будет ли п четным или нечетным, нижний и верхний пояса или будут иметь одно и то же число стержней, или один из них будет иметь одним стержнем меньше другого.
Если P1 есть один из двух концевых узлов и полное число узлов четно И равно 2?, ТО другим концевым узлом будет PkJtl. Если же, наоборот, число узлов нечетно и равно 2& + 1, то вторым концевым узлом будет или РА+1, или Pkir2, в зависимости от того, идем ли мы при нумеровании узлов, начиная с P1, сначала по поясу, имеющему одним узлом меньше, или же по другому поясу, і 4. равновесие неизменяемой системы ВЁз лишних стержней
171
§ 1. Равновесие неизменяемой системы без лишних стержней под действием чисто узловых сил
20. Векторное определение усилий. Начнем с рассмотрения какой угодно неизменяемой системы без лишних стержней (неособой), п узлов которой пусть будут P1, P2,... , Pn, и, как в § 2, обозначим через Fu F2, .... Fn соответствующие внешние, прямо приложенные силы, предполагая, что все они лежат в плоскости системы. Конфигурация системы здесь задана, а в конкретных задачах следует считать известными также и положения отдельных узлов, так что речь будет идти об определении усилий, которым под действием указанной системы внешних сил подвергается каждый отдельно взятый стержень. После того как будут найдены усилия, действующие на стержни, на основании принципа равенства действия и противодействия можно также определить и силы, действующие на узлы.
