Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда эти проекции, общую величину которых мы обозначим через <р, отличны от нуля. Действительно, если какое-нибудь из усилий обращается в нуль, то можно представить себе, что связность в соответствующем узле устранена без нарушения равновесия, и тогда задача оказывается сведенной к двум различным задачам, относящимся к многоугольникам с меньшим числом стержней. Исключив этот случай, никакое усилие уже нельзя считать равным нулю; и тогда предположение © = 0 будет означать, что усилия, а вместе с ними и стороны веревочного многоугольника, все будут вертикальными. Если мы оставим в стороне не представляющий интереса случай, когда P1 и Pn находятся на одной и той же вертикали, то упомянутая только что возможность исключается, поэтому следует считать, что <р Ф О.
Теперь, принимая <р за вспомогательную неизвестную, мы в со-стоянии выразить через <р и через главные неизвестные <х1( а2,..., аи_ j вертикальные составляющие усилий. Достаточно заметить, что если они имеют линиями действия P1Pi, Р2Р», • • •> Рп-іРп> т0 отношения (конечные в силу предположения, что у Ф 0) между величинами вертикальных и горизонтальных составляющих выражаются (каково бы ни было направление отдельных усилий) тангенсами углов наклона а2, ..., так что величины вертикальных
составляющих соответственно будут иметь значения
Ttgaj, Cptga2,..., ®tga„_j.
Проектируя векторные уравнения (5) на ось у (вертикальную и направленную вверх), мы получим уравнения
Pi + tPtga<_i==Ttg(і —2, 3, ..., п 1), (IO)
к которым необходимо присоединить уравнения, связывающие хп, Уп с хи Vu I и а- Эти два уравнения можно получить, спроектировав веревочный многоугольник P1P2 • • • Pn-Л на Две оси координат и выразив, что эти проекции являются не чем иным, как хп — хи Уп — Уі-
Таким образом, мы получим
п—і
Xn^==X1+2 иcos atO
1-і (»)
Уп = Ух + 2 h sin Cti. і=1 162 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
Уравнения (10), (11) в совокупности составляют п уравнений между таким же числом неизвестных аи а2, ап_и <р. Для решения их удобно положить
что, конечно, возможно, так как, на основании сделанного выше замечания, <р можно предполагать не равным нулю. Суммируя уравнения (10) от г = 2 до любого і и сокращая в полученном уравнении члены <ptga2, Iptga3,..., (ptga^j, общие обеим частям уравнения, будем иметь
+ +
tg«i =-(* = 2, ...,» —і). (ЮО
Уравнения (10') вместе с равенством tgaj = 4</<p выражают тангенс любого угла nt через, ф и <р. Если определим из этих уравнений обычным способом cos а и sin а и внесем их значения в уравнения (11), то получим два уравнения между <р и пригодных для определения этих величин. Следует, однако, предупредить, что действительное определение <Р и 6 в общем случае будет очень сложным: для п = 3 положение точки P2 определяется непосредственно, если будут заданы длины P1P2, P3P2; но уже при п = 4 уравнения для <р и ty, освобожденные от радикалов, имеют довольно высокую степень.
§ 3. Геометрическое исследование плоских решетчатых
балок (ферм)
13. Перейдем теперь к многосвязным стержневым системам. Мы будем рассматривать только один класс таких систем, так называемые плоские решетчатые балки или фермы, т. е. системы, составленные из стержней, расположенных в одной и той же плоскости (и, следовательно, содержащие цилиндрические шарниры).
Фермы могут быть двух видов: изменяемые и неизменяемые. Изменяемые фермы, как и односвязные системы, могут принимать непрерывную совокупность различных конфигураций. Таким, например, является какой угодно простой (замкнутый) многоугольник или также многоугольник с добавочным стержнем, один конец которого соединен шарниром с какой-нибудь вершиной многоугольника.
Неизменяемая ферма должна иметь число стержней, достаточное для обеспечения неизменяемости своей конфигурации. Таким будет, например, полный многоугольник, в частности четырехугольник с обеими его диагоналями. § s. геометрическое исследование плоских решетчатых балок
163
Неизменяемые фермы в свою очередь делятся на два класса: неизменяемые фермы без лишних стержней и неизменяемые фермы с лишними стержнями. В первом случае достаточно удалить один стержень для того, чтобы ферма стала изменяемой; во втором случае можно удалить один или несколько стерлсней, не нарушая жесткости системы.
Мы рассмотрим здесь подробно неизменяемые фермы без лишних стержней. Прежде всего мы выведем общее соотношение между числом п узлов и числом т стержней, справедливое для всякой такой системы.
Так как система неизменяема, то ее положение в плоскости, как и положение всякой другой неизменяемой плоской системы (гл. У, п. 2), должно быть однозначно определено, когда заданы положения двух ее точек, например двух узлов Рк, Р?, лежащих в концах одного и того же стержня. Это, с аналитической точки зрения, приводится к тому, что 2 (» — 2) координат других п — 2 узлов Pi (где индекс і принимает все значения 1, 2, ..., п, за исключением а и Р) должны однозначно определяться структурой системы, т. е. длинами т—1 стержней, отличных от того, который соединяет узлы Pa и pri. Каждый из этих стержней, если обозначим через Pi и pj его концы, через xi, iji и xj, ijj — соответствующие координаты, через Iij = Iji — длину, даст уравнение
