Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если мы рассмотрим любой стержень P{Pi+ J и условимся обозначать через Ф»+і, < и Ф», усилия, которые он испытывает соответственно в концах Pi и Pi+1, то, рассматривая чисто узловую систему сил (п. 3), будем иметь
фІ. І+1 = — Фі+I, (4)
О другой стороны, на основании принципа равенства действия и противодействия, узел Pi вследствие соединения СО стержнем PiPi+1 154 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
испытывает действие силы, прямо противоположной Фі+і, t, которая поэтому, на основании равенства (4), тождественна с Ф/, f+i.
Прежде чем идти далее, остановимся еще на обозначениях, введенных нами для усилий. Во всяком символе Ф4, i+i или Фі+і, і оба индекса обозначают стержень, к которому отнесено усилие, идет ли речь об усилиях, испытываемых им самим, или о силах, с которыми он действует на узлы. Если стержень рассматривается как воспринимающий усилие, то второй индекс, согласно принятому выше соглашению, обозначает тот конец стержня, к которому приложено усилие; если же, наоборот, мы будем рассматривать узел, например Pi, с которым соединены стержни Pi^1Pi и PiPi4.,, то силами, действующими на Pi, соответственно будут Ф»-, і_і и Фі, <+і, так что узел, к которому приложена сила, определяется первым индексом.
Важно еще заметить, что если усилие Фі, і+і (или Ф<+і, і) является растягивающим, то порядок г, і1 (или соответственно і -f-1, і) индексов находится в согласии со стороной PiPi+1 (или
Pi+J Pi), в которую действует усилие (на конец ли Р<+1 стержня PiPi^1 или на узел Pi).
Наконец полезно заметить, что в дальнейших статических исследованиях, для того чтобы привести вспомогательные величины к наименьшему числу, можно ограничиться, на основании равенства (4), введением лишь усилий типа Ф<,<+і, так как другие усилия, в которых имеется обращение (инверсия) индексов, им равны и прямо противоположны.
Выразим теперь условия равновесия, которые, как мы видели в предыдущем пункте, будут исключительно типа „б" из п. 2. Так как на каждый промежуточный узел действуют три силы, а именно: сила Fi (фиг. 47) и силы:
ф<. І-1 = — Ф<-1. < и Ф{, і+и
представляющие собой реакции стержней Pi^1Pi и Р(РІ+1, то мы будем иметь
Fi-ФІ-^ + ФІ, і+і = 0 (і = 2, 3, .. .,п— 1). (5)
Наоборот, в каждом из концевых узлов P1 и Pa прямо приложенная сила должна быть уравновешена одной реакцией, и мы должны иметь
Fi + ®12 = 0, Fn — Фп-1, я = 0. (6)
Уравнения (5) и (6) в своей совокупности, как обеспечивающие равновесие отдельных твердых частей системы, и дают нео$ходц.
Pi-, § 2. односвязньтё стержнквыё системы
15?
мые и достаточные условия для равновесия (односвязной) стержневой системы.
Уравнения (5) называются неопределенными уравнениями (или условиями) равновесия, а уравнения (6), относящиеся к крайним узлам, — уравнениями (или условиями) на концах.
Если мы обратим внимание на то,- что усилия Ф имеют линиями действия стороны веревочного многоугольника, то увидим, что для равновесия имеют значение соотношения между внешними силами, геометрическая конфигурация и величина усилий.
В большей части практических случаев усилия представляют собой неизвестные силы, которые требуется определить, предполагая, что веревочный многоугольник задан, или же неизвестна конфигурация равновесия, и нам нужно определить ее по данным задачи, исключая или, по крайней мере, принимая за вспомогательные неизвестные величины усилий.
6. Для того чтобы равновесие стержневой системы было возможно и в этом случае, как и во всяком другом, должны удовлетворяться основные уравнения, т. е. система приложенных векторов, представляющих собой внешние силы Fi, должна быть эквивалентна нулю. Отсюда можно заранее заключить, что это последнее условие должно неявно содержаться в векторных уравнениях (5) и (6); это легко проверить и на самих этих уравнениях.
В самом деле, так как силы, входящие в уравнения (5) и (6), приложены к одной и той оке точке и потому результирующий момент их относительно общей точки приложения равен нулю, то каждое из этих уравнений можно истолковать не только как соотношение эквиполлентности, но и как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов (гл. I, п. 38). То же свойство будет выражать и уравнение, которое получится, если почленно сложить уравнения (5) и (6); выполняя сложение и принимая во внимание равенства (4), получим уравнение
^1+^2+-.-+-^ = 0,
которое выражает, что система приложенных векторов Fi эквивалентна нулю.
Эта эквивалентность является, таким образом, следствием векторных уравнений (5) и (6); однако, поскольку эти уравнения не только необходимы, но также и достаточны для равновесия стержневой системы, они в общем случае неявно содержат дальнейшие условия.
Эти условия выражаются теоремой, которую мы докажем в следующем пункте и которая дает для условий равновесия одно-связной стержневой системы механически выразительную и удобную для некоторых приложений форму, 156 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
