Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
F2 + Фа,і + Фа,а + Ф2,8 + Ф2,з = О,
как составляющие по соответствующим стержням вектора
-F2- Ф21 —Фа,9.
Так можно продолжать до тех пор, пока не будут определены все усилия. Определение неизвестных усилий будет закончено, когда, дойдя до последнего треугольника P4P6P6, мы рассмотрим две его вершины P4 и P6; после этого мы можем проверить точность полученных результатов, обращаясь к уравнению равновесия крайнего узла P6, т. е. проверяя, дей- г ствительно ли будут полученные для ! P8 у/ п
Фй,4, Ф5,б векторные значения (как это ° > Pr7
требуется этим уравнением) прямо про- J \ч \/
тивоположны составляющим силы F6 по стержням P6P4, P6P6-
22. Метод сечений или метод Кульмана. Обратимся к ферме, составленной из треугольников (см. фиг. 56), и рассмотрим " фиг два последовательных треугольника, имеющих общий стержень, например два треугольника P3P1P8, P1P3P4. Представим себе, что ферма разбита на две части S1 и S2 посредством сечения, проходящего соответственно через три точки Н, К, L (фиг. 57) внутренние для стержней контура P1P8, Р&Р* и стержня P8P1- 174 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
Рассмотрим условия равновесия одной из двух частей фермы, например части S1, содержащей первый узел P1 (т. е. левой части).
Внешними силами, действующими на S1, являются, кроме сил, прямо приложенных к узлам части S1, усилия (ff, Фя), (К, Фг), (L, Ф?), с которыми части HP1, KPi и LP4 стержней P8P1, P3Pi и P3P1 действуют соответственно на части P8//, PsK и PiL тех же стержней. Эти усилия тождественны с усилиями Ф8_7, Фз,4, Фз,7, которым стержни P8P7, P3P4 и PsP7 подвергаются в соответствующих узлах P7, P4, P7, и так как необходимо, чтобы были удовлетворены основные условия равновесия, то три усилия (ff, Фя), (К, Фк), {L, Фь) должны уравновешивать систему сил, приложенных в узлах части S1, т. е. в нашем случае сил (P1, F1), (P2, F2), (Ps, Fs), (P8, F8), (P9, Ф9). Такая система, все силы которой лежат в одной плоскости, эквивалентна или одной силе, или одной паре (гл. I, п. 50); в практически важных случаях речь идет обыкновенно об одной силе В, линию действия г которой можно построить (применяя, например, графический метод, указанный в упражнении 21 гл. I). При таком предположении речь идет об определении величин и сторон обращения трех векторов Фя, Фк, Фь таким образом, чтобы система
(ff, Фя), (К, Фк), (L, Фі), (В на г)
была уравновешена; легко убедиться, что эта задача всегда допускает единственное решение.
Действительно, прямая г необходимо пересекает, по крайней мере, одну из линий действия трех неизвестных усилий. Если, например, она пересекает прямую P8P7 в точке Q, то мы можем считать результирующую активных сил В и усилие Фя приложенными в этой точке, а усилия Фг и Фх в узле P3; и так как, если мы временно обозначим через T результирующую этих двух последних усилий, тоже приложенную в P3, мы должны иметь
(Q, В Фя) эквивалентной (P3, *Р),
то линией действия силы *Р может быть только прямая PsQ; поэтому силы Фя, 1F можно определить как составляющие силы — В по прямым QP8 и QP3. Найдя *Р, достаточно будет разложить ее по двум прямым P3P4, P3P7, чтобы иметь усилия Фк и Фі.
23. Метод моментов или метод Риттера. Этот метод, по существу, является прямым следствием метода сечений, но по сравнению с последним обладает преимуществом большей быстроты и точности построений.
Возьмем снова пример из предыдущего пункта и введенные там обозначения. Принимая во внимание то обстоятельство, что і 4. равновесие неизменяемой системы ВЁз лишних стержней
175
четыре приложенных вектора
(Я, Фя), (К, Фк), (L, Фь), (В на г)
составляют уравновешенную систему, и имея в виду определить одно из неизвестных усилий, например Фя, возьмем за центр приведения узел P3, общий для двух других стержней, и заметим, что, так как моменты сил (К, Фк) и (L, Фх) относительно точки P8 равны нулю, момент силы (Я, Фя) должен быть равен моменту силы В. Так как эти два приложенных вектора лежат в одной и той же плоскости, то равенство моментов сводится к единственному скалярному уравнению, т. е. к равенству их проекций на произвольно ориентированную нормаль к плоскости. В конечном счете речь идет о равенстве так называемых статических моментов, т. е. произведений из величин сил Фя и В на соответствующие плечи относительно точки P3, причем каждый момент берется со знаком плюс или минус, в зависимости от того, положительна или отрицательна проекция соответствующего вектора-момента на ориентированную нормаль. Тем самым вектор Фя, имея линией действия прямую P8P7, будет определен по величине, направлению и стороне.
24. JIemma. Для того чтобы сократить рассуждения, которые мы намерены изложить в ближайшем пункте, предпошлем одно общее замечание.
Рассмотрим какую-нибудь неизменяемую плоскую вертикальную систему, опертую (горизонтально и без трения) в двух точках P и P', расположенных на одинаковой высоте (фиг. 58); пусть система находится под действием веса или нагрузки р, приложенной в одной из ее точек М, внутренней для полосы, заключенной
