Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщая символы, принятые в п. 5 для просто связных систем, мы будем обозначать усилия, которые испытывает любой стержень PiPj со стороны соответствующих узлов Pi и Pp через Ф/,» и Фг,;/, так что при равновесии будем иметь
Фи- --<1>,,'. (21)
Как уже было указано несколько ранее, линии действия этих усилий известны по заданию, так что неизвестными остаются величины усилий и стороны, в которые они направлены. Вследствие соотношений (21) число этих неизвестных равно числу стержней фермы, т. е. 2п — 3, и, так как соотношения (21) исчерпывают условия равновесия стержней, определение этих неизвестных можно получить только из условий равновесия узлов.
Если в каком-нибудь узле Pi сходятся стержни PiPj, PiPu то усилия, которые этот узел испытывает со стороны стержней, могут быть представлены в виде — Ф^г, — Філ, • • •, или, на основании соотношений (21), В виде Фi,j, ФІЛ, ..., (все с первым индексом І) и соответствующее условие равновесия приведется к виду
Fi + Фi,j + Фi,l+...0 (»=1,2,...,»). (22)
Так как речь идет о плоской задаче, то эти п векторных уравнений перейдут в 2п скалярных уравнений; но легко видеть, что если задача разрешима, то число их уменьшится. Действительно, заметим, что здесь, как и в случае просто связной системы (п. 6), каждое из векторных уравнений (21), (22), поскольку это относится к приложенным векторам с линиями действия, пересекающимися в одной и той же точке, можно истолковать не только как простое векторное равенство (эквиполлентность), но и как векторную эквивалентность в собственном смысле; поэтому, складывая по частям уравнения (22) и принимая во внимание, что 172 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
в сумме, вместе с каждым усилием Фi,j, появляется один, и только один, раз соответствующее усилие Ф^il-, относящееся к другому концу того же самого стержня, на основании соотношений (21) заключаем, что система внешних сил F1, F2, ..., Fn является уравновешенной. Другими словами, равенства (21), (22) содержат в себе основные уравнения равновесия, не зависящие от усилий (внутренних), и, так как эти уравнения относятся к плоской системе сил, они сводятся к трем скалярным уравнениям, которые должны удовлетворяться данными задачи, как условия ее разрешимости.
Согласно этому, скалярные уравнения, являющиеся следствиями уравнений (22), сводятся к 2п — 3 уравнениям, т. е. мы имеем как раз столько уравнений, сколько имеется неизвестных; очевидно при этом, что речь идет о линейных неоднородных уравнениях.
Чтобы быть уверенным, что эти 2п — 3 уравнений вполне определяют неизвестные задачи, следовало бы убедиться в том, что они независимы. К этому мы еще вернемся в § 8 гл. ХУ, рассматривая снова ту же задачу на основе принципа виртуальных работ; здесь же мы ограничимся лишь утверждением, что уравнения (22) действительно единственным образом определяют неизвестные всякий раз, как будет отличен от нуля якобиан J, о котором мы говорили в п. 14, т. е. когда будет удовлетворяться условие, что ферма (неособая) не имеет лишних стержней.
Намеченный здесь способ вычисления представляет собой аналитический метод для определения усилий. Как мы видели, он состоит в решении 2п— 3 линейных неоднородных уравнений с таким же числом неизвестных, поэтому необходимо выбрать такой метод решения этих уравнений, чтобы по возможности уменьшить сложность вычислений.
21, Графическое определение усилий. На практике обычно прибегают к более прямым способам, преимущественно графическим, которые приводят или к изолированному определению некоторых усилий, независимо от других, или же к представлению всех усилий в одной диаграмме, позволяющей проверять результаты, к которым мы последовательно приходим. Эти методы применяются к неизменяемым системам любого типа; однако здесь мы, для большей ясности и чтобы не слишком отклоняться в сторону, ограничимся простыми треугольными системами (п. 19).
Обратимся, например, к ферме P1P2.. .P9, представленной на фщ\ 55 п, 19, которую мы здесь воспроизводим (фиг. 56). Рас-
Фиг. 56. і 4. РАВНОВЕСИЕ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ВЁЗ ЛИШНИХ СТЕРЖНЕЙ
173
сматривая один из двух крайних треугольников, например треугольник P1P2P9, мы видим, что в первом узле сходятся только два стержня P2P1, P9P1, так что уравнение равновесия точки P1
-г\4-Фі,2+Фі,9 = о
единственным образом определяет усилия Ф1>2 и Фі,9 как равные составляющим силы —F1 соответственно по прямым P1P2, P1P9.
Рассматривая второй треугольник P2P8P9, мы видим, что в одном из узлов, именно в узле P9, сходятся три стержня, тогда как в каждом из двух других узлов сходятся по четыре стержня. Уравнение равновесия, соответствующее первому узлу,
F9 + Ф9.1 + Фэ,з + Ф9,8 = О
определяв® Фэ.з и Ф9>8 как составляющие силы —^9-(-Фі,9 по соответствующим стержням, поскольку сила Ф9Л является уже определенной, как противоположная силе Ф1>9. После этого можно переходить к узлу P2, в котором из четырех сил уже известны Ф2д и Фа,9, тогда как силы Фа,з, Фа,8 определяются соответствующим уравнением равновесия
