Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
7. Для того чтобы односвязная стержневая система, находящаяся под действием данной системы внешних сил, была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы система внешних сил была эквивалентна нулю и чтобы, кроме того, результирующий момент, относительно каждого отдельно взятого узла, внешних сил, приложенных к предыдущим (или последующим) узлам, был равен нулю.
Чтобы доказать, что высказанные условия необходимы для равновесия, припомним прежде всего, что при равновесии [т. е. когда выполняются уравнения (5) и (6)] система внешних сил Fi векторно эквивалентна нулю. Кроме того, если сложим почленно первое из уравнений (6) и первые і— 1 из уравнений (5), рассматривая их как соотношения эквивалентности между системами приложенных векторов, то получим, принимая во внимание равенства (4), соотношение
F1^F2+ ... +Fi + Фм+1 = 0, (7)
которое выражает, что система внешних сил F1, F2, ..., Fi векторно эквивалентна единственному усилию—Фііі+1 — Фі+иі, имеющему линией действия отрезок PiPijrl, и поэтому результирующий момент этой системы относительно каждого из узлов Pi, Рі+1 равен нулю.
Наоборот, если предположим условия теоремы выполненными, то прежде всего будем иметь соотношение эквивалентности
F1 +F2+ ... +Fn = Q-, (8)
кроме того, так как результирующий момент системы внешних сил F1, F2, ..., Fi (при і = 1,2, ..., п — 1) относительно узлаPi равен нулю, то эта система эквивалентна (гл. I, п. 39) одному вектору, приложенному в Pi, который мы можем обозначить через Ф»+і,< = — так что будут справедливы уравнения (7) при
г = 1, 2, ..., п — 1, причем все они будут представлять собой соотношения эквивалентности. Вычитая почленно из равенства (8) равенство (7) при г = п — 1, а из каждого из равенств (7) равенство с индексом непосредственно низшим, мы последовательно получим равенства:
Fn-Ф„_1,га = 0, Fi — Фi_hi + Фi|i+1 = 0 (» = 1, 2, » —1),
которые, будучи присоединены к последнему из равенств (7), т. е. к равенству
+Фи = О,
будут иметь в точности вид уравнений равновесия (неопределенных и на пределах) стержневой системы (п. 5). Докажем теперь, что равновесие существует при условии, что приложенные векторы Фг-)і+І, которые мы формально определили посредством уравнений (7), § 2. односвязньтё стержнквыё системы
15?
имеют характер усилий, т. е. каждый из них имеет линией действия прямую PiPi+1.
Для этой цели рассмотрим соотношения эквивалентности
Fi- Ф<-І,І + ФІ,і+І = 0
или, в другом виде,
^ + Ф^+і^Фі-М,
и вспомним, нто два приложенных вектора Fi и Ф^+і имеют оба началом точку Pi (первый по определению, второй по предположению), так что по отношению к этому узлу их результирующий момент равен нулю. Поэтому будет равен нулю также и момент относительно Pi вектора Фі_1іі, эквивалентного им, а так как этот вектор, по определению, приложен В Pi^1, то он имеет линией действия прямую Pi^1Pi.
8. Силовой многоугольник, или многоугольник Вариньона. Условие (необходимое для равновесия односвязной стержневой системы PjP2 • • • Pfi)> заключающееся в том, что результирующая внешних сил Fi должна быть равна нулю, геометрически выражается тем, что векторный многоугольник, построенный для сил Fu F2, ..., Fn, должен быть замкнутым. Другими словами, если, задав точку Q1, определить п— 1 точек Q21 Qs, ..., Qn последовательно равенствами
Qi-Q1 = F1, Q3-Q2 = F2,..., Qn-Qn-I-Fn^1, (9) или, в другом виде,
QiQz = Fl, Q2Qb-F2,..., Qn-xQn — F то будем иметь
Qi-Qn = Fn,
или, что одно и то же,
1 = Fn.
Многоугольник (замкнутый) Q1Q2 ... Qn, который таким образом надо присоединить к веревочному многоугольнику P1P2 ... Pn, называется силовым многоугольником или многоугольником Вариньона. Он обладает одним характерным свойством, которое мы здесь установим и которое позволит свести к простым геометрическим построениям решение задач о равновесии односвязных стержневых систем.
9. В силовом многоугольнике Q1Q2 ... Qn (фиг. 48), присоединенном к веревочному многоугольнику P1P2 ¦;. Pn, стороны и диагонали Q2Q1, QsQ1, •¦•, QnQ1, направленные в сторону Q1, 158 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
будут соответственно эквиполлентны усилиям Ф1)2, Ф2 3, ..., фп-1,п- '
Действительно, припомним прежде всего, нто вектор Q2Q1 = —QlQi эквиполлентен вектору —F1 и нто вследствие первого из равенств (6) этот вектор эквиполлентен Фьа.
Что же касается вектора Q3Q1, то возьмем равенство (5) при і = 2, т. е. равенство
F2- Фі,з + Фз,з = 0.
Принимая во внимание только что полученный результат и
вспоминая, что по построению вектор Q2Q8 эквиполлентен вектору F2,
можно написать предыдущее равенство в виде
О^з — + Ф2,3 = 0, или
откуда заключаем, что вектор -Q3Q1 эквиполлентен вектору Ф2,з.
Таким образом будем продолжать до тех пор, пока не дойдем до вектора
Фиг. 48. QnQ1, который, будучи экви-
поллентен силе Fn, будет также эквиполлентен, вследствие второго из равенств (6), усилию
Наоборот, если для какого-нибудь многоугольника P1P2 ... Pn можно построить такой замкнутый многоугольник Q1Q2 ... Qn, что стороны и диагонали Q2Q1, QsQ..., QnQi, сходящиеся в Q1, будут соответственно параллельны прямым P1P2, P2P3, .. •, Pn^1Pn, то многоугольник P1P2 ... Pn будет представлять собой веревочный многоугольник, для которого Q1Q2 ... Qn является силовым многоугольником.
