Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Далее вводятся четыре взаимные реакции (неизвестные), возникающие-в точках А', В', С', D', которые следует считать (как это непосредственно-очевидно) вертикальными. Если обозначим через M1, M2, B3, M4 соответственно их величины, в предположении, что равновесие возможно, то на балку AA' будет действовать (помимо прямо приложенных нагрузок н реакции стены в точке А) одна из сил R2 (направленная вниз) в точке В' и одна из сил Ri (направленная вверх) в точке А', и т. д. Выражая, что момент сил, действующих на балку AA' относительно прямой а, равен нулю,, будем иметь
M1^lR2-IR1 = O. Остальные три уравнения будут иметь вид
M2 +PR3-IR2 = О, M3 + IR4 — IR3 = О, M4 + V-R1 — IR1 = 0.
В частном случае, когда ^ = X (потолок квадратной формы), только что-написанные уравнения получаются из первого посредством круговой перестановки индексов 1, 2, 3, 4. В этом случае, положив для краткости
T-.
так что к будет меньше единицы, и
Mi
Pi=-J-¦ (» = 1,2,3,4),
мы можем написать систему четырех уравнений в виде
R1-IcR2=P1, R2-IcR3=P 2, R3-TeR4=P3, R4 — IeR1 = р4.
Для того чтобы получить R1, достаточно умножить эти уравнения последовательно соответственно на 1, Те, Те\ Te3 н сложить их. Получится
р Pi+PJe+Pb1c2+ Pi1c3 bI =-T=Tki->
откуда, производя круговую перестановку индексов 1, 2, 3, 4, получим
т? -Ра+РзЪ+Pi1c2+Pi1c3 „ „, „
-? --г=Р- и т- д-
Неизвестные R оказываются, таким образом, положительными (так как положительны все M и, следовательно, все р).
1J Где направление оси а берется таким образом, чтобы момент нагрузки, приложенной к балке AA', был положительным. 126
гл. xiii. статика. твердого тела
Закончить решение, указав реакции опор, требуемые -равновесней, и убедившись, что они действительно возможны (направлены вверх) и что все условия равновесия оказываются выполненными.
Рассмотреть общий случай, когда ;л < X. (Ср. Bisconcini, соч., цит. на стр. 83 гл. I, стр. 287—290.)
23. Три ядра (равных и однородных) опираются на горизонтальную плоскость и касаются попарно друг друга. На них положено такое же четвер-тое ядро, касающееся всех трех.
Равновесие возможно только при условии, что коэффициент трения f между ядрами не будет меньше, чем 1/(1^2+ "^3)=0,318..., а коэффициент трения между ядрами и плоскостью (один и тот же для всех трех ядер) будет равен, по крайней мере, четвертой части указанной величины.
24. Металлическое кольцо (фрикционный хомут) имеет неизменно связанный с ним боковой выступ. Кольцо, насаженное, на круглый стержень немного меньшего диаметра, находится в равновесии, упираясь в стержень в точках Ли В, под действием нагрузки q, приложенной к концу С выступающей части.
Даны: диаметр d стержня, высота А точки Л над точкой В, длина I выступающей части ВС (предполагаемой горизонтальной), вес р кольца вместе с выступом, расстояние а точки В от линии действия веса и коэффициент трения f между стержнем и кольцом (одинаковый для точек Л и В). Определить, при каких ограничениях возможно равновесие и каково наименьшее значение з, при котором оно может существовать.
Имея в виду, что вертикаль, проходящая через центр тяжести, пересекает хомут, так что a, < I, и положив Ъ = V d2 — A2, b\=f (2а li), Ъ2 = = f(2l-\-h), показать, что для возможности равновесия необходимо, чтобы Ъ было заключено между ї»і и Ь2- Наименьшее значение q, способное обеспе-
25. Стержень Л В, крепко зажатый между двумя вертикальными стенками, находится в равновесии в вертикальной плоскости, перпендикулярной к стенкам. Это предполагает, что стержень лежит внутри конусов трения, относящихся к точкам опоры Л и В.
Известны: расстояние d между стенками; разность уровней А между кон-дами Л и В и вес р стержня; давление JV (нормальная составляющая реакции), действующее в каждой из опор; коэффициент трения f между стержнем и стенками (одинаковый для обеих опор Л и В).
Определить наибольшую силу q, действующую по вертикали вверх, которую можно .приложить в некоторой точке С стержня, находящейся на расстоянии с от верхней опоры, не сдвигая его.
Ограничиваясь типичным случаем, в котором весом стержня можно пренебречь цо сравнению с Ж, найдем
где угол а (заключенный между — я/2 и л/2) определяется посредством tg а при помощи формул
чить равновесие, есть
q = fN~ (1 + cos а),
h — fc
d — с
при
tg<x =
С
при упражнения
145
26. Тяжелое твердое тело опирается в п (>• 3) точках P (г = 1,..., га) на горизонтальный пол. Если мы примем поверхность пола за плоскость z = О, возьмем за начало координат Проекцию центра тяжести тела на плоскость з = 0 и обозначим через Xi, у{ координаты точек Pi, через Фг величину нормальной-реакции в Pi, через р вес тела, то шесть основных условий равновесия сведутся к следующим трем:
п і
2 фі =А
п
2 ЩФ< = 0, (1)
<=і
2 уіфі = о-i=l
Мы знаем уже, что, в пределах статики неизменяемых тел, распределение реакций остается неопределенным (п. 16). Уравнения (1) выражают аналитически степень неопределенности, представляя собой только три соотношения между п неизвестными (положительными) Ф(. Если все реакции Ф* положительны, то (п. 14) вертикаль, проходящая через центр тяжести, должна пересекать опорную плоскость в точке, лежащей внутри опорного многоугольника.
