Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
гл. xy. принцип виртуальных работ и аналитическая статика
8. Заметим, что в этой именно форме и был высказан с самого начала принцип виртуальных работ (или, как одно время называли его, принцип „виртуальных скоростей").
Здесь уместно остановиться на интуитивном доказательстве принципа виртуальных работ, которое дал Лагранж $ своей Аналитической механике.
Обратимся к обычной системе из N точек Pi, подчиненных связям без трения, не зависящим от времени, и находящихся под действием заданных прямо приложенных сил Fi, предположим сначала, что величины Fi этих сил: соизмеримы между собой, т. е. могут быть выражены в виде
Fi = w1t, F2 = w2t, ..., Fn = идгт, (2)
где W1, п, величины сил
2>
, riN обозначают N известных целых чисел. Если Fi несоизмеримы, то всегда можно выбрать их достаточно малыми для того, чтобы они могли быть представлены в виде (2) с каким-нибудь заданным приближением.
Предположим теперь, что с каждой точкой Pi (фиг. 69) связано весьма малое, абсолютно гладкое колечко и что, кроме того, в пространстве закреплены N таких же колечек Qi, соответственно на линии действия каждой отдельной силы Fi и с топ стороны, в которую действует эта сила *).
Привязав к колечку Qi конец гибкой и нерастяжимой нити, заставим эту нить пройти попеременно через колечки P1 и Qi Фиг. 69. W1 раз, так что между P1 и Q1 будут
натянуты 2п1 кусков нити. После этого заставим свободный конец нити, который выходит в последний раз из Q1, пройти попеременно W2Pa3 через P2 и Q2; так будем продолжать до тех пор, пока не будем иметь 2кусков нити, натянутых между колечками Pn и Qn, и свободный койец, выходящий из Qn- Предполагая нить натянутой по всей ее длине, приложим к свободному ее концу силу, равную т/2. Так как нить передает эту силу вдоль всей своей длины неизменной, то любая точка Pi, поскольку между Pi и Qi натянуты 2щ кусков йити, подвергается
*) Лагранж в своем доказательстве пользуется для рассматриваемой цели полиспастами, составленными из отдельных блоков. См. Л а г р а н ж Я?. Л,, Аналитическая механика, т. I, стр. 42—47, 1950. (Прим. ред.) § 2. общие условия равновесия. общее соотношение статики
251
действию полного натяжения величиной 2п{ • т/2 = Fi в направлении ориентированного отрезка PiQi и в сторону от Pi к Qi, т. е, в ту же сторону, в которую действует сила Fi, так что только одна сила т/2, приложенная к свободному концу нити, определяет в каждой точке Pi системы, благодаря описанному устройству, силу, тождественную заданной силе Fi.
Теперь застаним точки системы совершить виртуальные перемещения SPi; если SZi есть проекция вектора SP1 на ориентированное направление вектора PiQi, то очевидно, что SZi с точностью до бесконечно малых высшего порядка дает вариацию расстояния между закрепленным колечком Qi и подвижным колечком Pi: именно, мы будем иметь сближение, еодп SZi > 0, и удаление, если Mi < о. Другийи словами, мы можем сказать, что каждый кусок нити, натянутой между Pi и Qi, укорачивается в алгебраическом смисле на SZi, так что полное укорочение (алгебраическое), которое на рассматриваемом виртуальном перемещении системы испытывает полная длина нити, заключенной между закрепленным началом в Q1 и концом Qn последнего куска, натянутого между Pn и Qn, определяется выражением
2»! SZ1 4- 2п2 SZ2-)- • • • + 2wn MN-
Можно также сказать, что это выражение, взятое по абсолютной величине, измеряет кусок нити, который при рассматриваемом виртуальном перемещении системы выходит из кольца Qn или соответственно входит туда, в зависимости от того, положительно или отрицательно это выражение.
Допустим, далее, что система под действием активных сил Fi находится в равновесии. Предположив, что силы Fi заменены описанным выше устройством, мы увидим, что точки Pi, вначале находящиеся в покое, останутся в покое также и тогда, когда к свободному концу нити будет приложена сила т/2. Это означает, что связи не допускают никаких перемещений точек Pi, при которых нить, подчиняясь действию силы т; 2, выходила бы, хотя бы незначительно, из последнего колечка Qn; или, другими словами, если имеется равновесие, то для всякого виртуального перемещения системы должно быть
2п1Ы1 -f- 2п2Ы2 -)-...-(- 2nNblN < 0. (3)
Обратно, легко убедиться, что если на всяком виртуальном перемещении удовлетворяется соотношение (3), то система будет находиться в равновесии под действием силы т/2 или,, что одно и то же, под действием заданных сил Fi. Действительно, если система, предполагаемая вначале находящейся в покое, начала бы под действием силы натяжения т/2 двигаться, їо, по крайней мере, в первый элемент времени нить следовала бы по силе т/2, выходя на некоторый кусок из кольца Qn', поэтому существовало бы 252
гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
перемещение, совместимое со связями (действительное перемещение), для которого осуществлялось бы неравенство
2U1 SZj4- 2п2 SZ2 -)- ... 4- 2nN Mn > О
вопреки предположению (3).
Таким образом, необходимое и достаточное условие для равновесия выражается соотношением (3), которое, если обе части его умножим на т/2 и примем во внимание равенства (2), преобразуется в соотношение
