Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
11. Однородная нить длиной I прикреплена одним концом к неподвижной точке А и проходит по небольшому блоку В, расположенному на высоте точки А. Часть нити, находящаяся за блоком, свободно свешивается вниз.
Выразить длину Z1 свешивающейся части нити в функции от I и от а (расстояние AB), предполагая ничтожными размеры и трение блока.
Каково наибольшее значение а, при котором еще возможно равновесие?
12. Расстояние а между двумя последовательными изоляторами телефонной линии равно 80 м. Провод (бронзовый, диаметром в 1 мм) весом 7 кг на 1 км, так что вес р 1 поі. м равен 7-Ю-3 кг, был натянут в момент подвешивания грузом в 4 кг. Эта нагрузка действовала на проволоку в горизонтальном направлении (посредством блока) до пайки, так что ее можно отождествить с горизонтальным натяжением <р. Так как отношение
достаточно мало, то цепную линию можно рассматривать как дугу параболы (п. 54) и пользоваться соотношением (48')-
Предполагается, что подвешивание провода производилось летом при средней температуре 20°. Когда температура падает, проволока укорачивается и ее длина становится равцой V <^1; а, конечно, остается неизменным, а р мы должны будем заменить через р' = pi?'. Это увеличивает натяжение и дает новое значение <р' величине <р. Определить у' [пользуясь равенством (48')] для наиболее низкой зимней температуры, считая ее равной — 10° С и приняв коэффициент расширения провода равным 16 • IO-6 см на каждый градус Цельсия. Найти также наибольшее натяжение провода при заданных условиях [6,225 кг; ер. G. Bisconcini, Boll, dell' Unione Mat. Italiana, IV, 5-7 (1925)].
pa Ч
18. У дуги цепной линии концы находятся на одном и том же уровне. Если а означает пролет, то наибольшим значением натяжения Т, согласно 240 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
формулам (65) и (56), будет
JL {ерф<? e-pa/2fy^ 2
Для нити с заданной величиной веса единицы длины (или с заданной линейной плотностью) как мы видим, изменяется вместе с длиной а пролета, постоянно возрастая, и вместе с горизонтальным натяжением <р (которое зависит от длины нити).
Допустив, что * не должно превосходить заданный предел ^0 (Для того чтобы не подвергать нить излишней опасности), показать, как определить предельный пролет «о (т. е. наибольшую его величину, совместную с условием X т0).
Показать, что:
1) Если обозначить через <ро то значение <р, которое мы имеем в случае цепной линии, соответствующей предельному пролету, то pau?yu является корнем уравнения
е' + е-« — Z (е<* — е-») = 0.
2) Предыдущее уравнение относительно г имеет только один положительный корень, заключенный между 1 и 2; приближенное значение этого корня есть 1,2.
3) Численное значение «о в функции от т0 получается из двух уравнений
4) Стрела провеса f и длина I нити, Ъпределяемые вообще из равенств
f = X {вРФ9 + е-ра129 _ 2),
I = 1 {eP«Pf _ g-pa?<eyt
будут равны приближенно Vs и 5U предельного значения.
Вычислить «о для случая бронзового телефонного провода в 1 ш диаметром, принимая to = 15 к» и, как и в предыдущем упражнении, р = 0,007 кг на 1 not. м. (Будем иметь а0 = 2 841 ж.)
Заметим, что для всякого значения величины а, меньшего предельного пролета, стрела провеса, соответствующая наименьшему значению т, связана с а тем же самым соотношением, которое связывает fg с «о-
При числовых данных задачи а = 1 км, т. е. не превосходит а0. Пользуясь для стрелы провеса f предыдущим выражением при ра/2у = 1, 2 (т. е. около одной трети километра), определить, каково будет наибольшее растягивающее усилие? [Ср. Bisconcini, цит. место, стр. 341—345.]
14. Исследуем вопрос предыдущего упражнения (определить наибольший пролет, совместимый с условием т < х0) на основании приближенной формулы, которой обычно пользуются техники и инженеры (п. 64). Однако надо заметить (это можно проверить вычислением), что таким образом мы найдем только грубо приближенные результаты (с относительной ошибкой около 10u/o). Причину этого мы найдем, если покажем, что из формул, относящихся к сильно натянутой нити, следует равенство
У8,
?о
так что мы находимся вне области, в которой было бы законным (п. 54) применение приближенной формулы. Ср. Bisconeini, Boll, dell' Unione Mat, Italiana, IV, 5—7 (1925), стр. 345—346. упражнения
241
15. Приведем следующие (почти очевидные) геометрические замечания.
1) Если р и <р — полярные координаты точки P на плоскости, а і и j—единичные векторы соответствующей декартовой системы осей Oxy, то будем иметь
OP = р (cos <рі -f- sin fj).
2) Для окружности е радиусом R (так как ds = R й<р) отсюда следует
, dp ¦ • , л
t = = — sm ft -j- COS <0,
n —--і- OP = COS Фі — sin <у\
H
3) И, наконец, для винтовой линии на круговом цилиндре имеем, на основании формул гл. I, п. 82,
t = ± sin 0 (— sin <рІ COS <0) + cos 0fc,
а также
п = N= — cos <fi — sin fj,
Ь = t X n, = cos 0 (sin <pі — eos <fj) zt sin 0fc,
причем будут иметь место верхние или нижние знаки, в зависимости от того, идет ли речь о правой или левой винтовой линии.
