Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если si испытывают приращения Izit то ^0 получит приращение (вертикальное перемещение центра тяжести), определяемое равенством
Ymi Izi
Выражение виртуальной работы может быть поэтому написано в виде
SL с=> тд 8?,
так что условие равновесия SL ^ 0 сводится к соотношению
Ц><о,
где равенство имеет силу для обратимых перемещений.
Поэтому для равновесия требуется, чтобы связи допускали для центра тяжести только такие перемещения, для которых будет иметь место соотношение Ьг0 < О, или, что одно и то же, для которых не может оказаться S^0 > 0. Мы пришли, таким образом, к следующему результату (принцип Торричелли).
Для равновесия тяжелой системы, необходимо и достаточно, чтобы ее цеНтр тяжести не опускался ни при каком виртуальном перемещении системы (т. е. чтобы не было положительных приращений координаты S0).
16. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что высказанный здесь принцип относится только к бесконечно малым виртуальным перемещениям. Поэтому из него нельзя заключить, что в положении равновесия высота центра тяжести должна быть в собственном смысле минимальной (т. е. координата Z0 должна быть максимальной). Рассмотрим этот вопрос точнее, предположив для определенности, что все связи двусторонние. Условие равновесия будет тогда иметь вид S^0 = 0.
С другой стороны, как известно из анализа, для того чтобы функция имела макси- Фиг. 70. мум или минимум, требуется не только, чтобы обращался в нуль ее первый дифференциал (для системы значений, к которой относится максимум или минимум), но чтобы, кроме того, .удовлетворялось дополнительное условие, относящееся ко второму дифференциалу. Между тем в случае равновесия тяжелой системы условие обращения в нуль первого дифференциала функции s0 (S^0 = O) удовлетворяется, но ничего не известно о втором дифференциале.
Поэтому равновесие может существовать и без того, чтобы высота центра тяжести была действительно минимумом; в частности она может оказаться максимумом. 258
гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
Это можно сделать очевидным, например, в случае тяжелой точки, опирающейся на поверхность без трения: из двух положений равновесия Р, Q, указанных на фиг. 70, первое соответствует, очевидно, максимуму, второе — минимуму высоты центра тяжести.
17. Заметим, что более ограничивающее условие, заключающееся в том, что координата з0 должна иметь действительный минимум, т. е. что центр тяжести должен находиться в самом нижнем положении, совместимом со связями, обеспечивает одновременно существование равновесия и его устойчивость. В этом случае, действительно, можно утверждать, что при всяком достаточно малом перемещении системы, совместимом со связями, центр тяжести поднимается. Отсюда следует, что при возвращении к положению равновесия активные силы (которые здесь сводятся к весам отдельных элементов) совершают положительную полную работу.
Условие устойчивости в статическом смысле, определенное в п. 18 гл. IX, поэтому удовлетворяется.
§ 5. Статика системы с полными связями. Простые машины
18. Мы знаем, что системой с полными связями называется всякая голономная система с одной только степенью свободы (т. е. система, имеющая только одну лагранжеву координату) и со связями, не зависящими от времени. Такой, например, будет точка, вынужденная оставаться на заданной кривой, твердое .тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, винт в соответствующей гайке и т. д.
Перемещения SPi отдельных точек системы и, в частности, их проекции Ui на линии действия сил Fi определяются (для любой конфигурации) приращением Sg единственной лагранжевой координаты.
С другой стороны (так как в рассматриваемом случае не может быть необратимых перемещений), общее условие равновесия будет выражаться уравнением (1'), которое в настоящем случае можно написать в виде
SX = IlFi SZi = O. (4)
і
Оно, очевидно, равносильно единственному условию, которое мы получим, если приравняем нулю коэффициент при произвольной вариации Ьд.
19. Простые машины. Между системами с полными связями заслуживают специального упоминания так называемые простые машины (рычаг, наклонная плоскость, клин, винт и т. п.) и весы. Условия их равновесия можно исследовать прямым путем, анализируя, если надо, поведение отдельных частей (чаще всего твердых § 5. статика системы с полными связями. простые машины
259
тел) и вводя в виде вспомогательных величин взаимные реакции этих частей.
Однако если отвлечься от трения, то очень быстро можно достигнуть цели, обращаясь к принципу виртуальных работ. Этот принцип дает условие равновесия в его окончательной форме, без упомянутого выше введения и последовательного исключения вспомогательных реакций, которое требуется при элементарном способе и которое может стать очень затруднительным, если система состоит из многих частей.
Обычно, как в простых машинах, так и в весах, активные силы сводятся к двум силам F1 и F2, соответственно называемым силой и сопротивлением. Предположим, что системе дано единственное бесконечно малое перемещение, совместимое со связями, и напишем условие равновесия
