Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
д) Справедливость принципа виртуальных работ можно подтвердить непосредственно в очень многих случаях как путем анализа различных видов связей и комбинирования их между собой, так (даже и для неголономных систем) и на основе более простых постулатов и рассуждений.
Можно также утверждать, что для всех систем, встречающихся в природе, удается установить его непосредственно; такое исследование очень способствует полному пониманию механики и ее многочисленных приложений.
Мы не можем пойти по такому длинному пути и примем принцип виртуальных работ как общий постулат, рассматривая его как синтез опытных данных всей механики систем без трения. С абстракт- 246 гл. xy. принцип виртуальных работ и аналитическая статика
ной точки зрения этот принцип дает все, что можно требовать от общего принципа, так как он может быть выражен общей формулой, прнложимой к сколь угодно сложным системам ').
§ 2. Общие условия равновесия. Общее соотношение статики
4. Как в случаях, разобранных в .предыдущих главах, так и в аналитической статике чаще всего приходится рассматривать связи, вид которых, как бы ни был он сложен, не изменяется со временем, что, впрочем, отвечает самой природе статических задач, в которых речь идет об определении сил, способных удерживать тела в покое.
По этой причине, а также и для того, чтобы следовать историческому ходу развития статики, мы изложим здесь приложение принципа виртуальных работ к аналитической статике, обращаясь к материальным системам, связи которых не зависят от времени; следует, однако, заметить, что выводы, к которым мы таким образом придем, останутся в силе во всех случаях, если только речь идет о системах без трения.
Из предположения о независимости связей от времени можно легко вывести два следствия, относящихся в действительным перемещениям системы:
а) Действительное перемещение движущейся материальной системы со связями, не зависящими от времени, за всякий бесконечно малый промежуток времени dt всегда можно рассматривать как виртуальное перемещение.
б) Сумма работ реакций на всяком действительном (бесконечно малом) перемещении системы равна нулю.
Следствие „а" известно уже из кинематики (ср. гл. VI, п. 14), так что остается только доказать следствие „б". Далее, если действительное перемещение (которое на основании следствия „а" можно рассматривать как виртуальное) является обратимым, то утверждение „б" входит в принцип виртуальных работ.
*) Первые указания на принцип виртуальных работ можно встретить уже у Аристотеля. Столетняя работа над этим принципом, проводимая на наиболее замечательных конкретных задачах статики такими учеными, как Стевин, Галилей, Декарт, Иван Бернулли, завершилась в синтезе Лагранжа, поставившим во главу всей статики систем, лишенных трения, свой знаменитый принцип виртуальных скоростей, который по существу выражает, только лишь для случая равновесия, свойство реакций, высказанное в тексте, и совпадает, даже и по форме, с так называемым общим соотношением статики (см. § 2). Допущение, сделанное в тексте, что указанное там свойство реакций имеет место во всяком случае (а не только при равновесии), оправдывается другими постулатами механики, как мы увидим в гл. V, т. И. Для ознакомления с историческим происхождением принципа виртуальных работ рекомендуем обратиться к лекциям G, Collonnetti, I fonaa-menti Aella Statica, Турин, 1927. § 2. общие условия равновесия. общее соотношение статики
247
Если действительное перемещение, рассматриваемое как виртуальное, оказывается необратимым, то следствие „б" можно доказать индуктивным способом, обращаясь, как в п. 8, к непосредственному ,анализу типичных случаев и допуская непрерывность реакций, которая, если предположить непрерывными прямо приложенные силы, что имеет место в большей части случаев, равносильна допущению непрерывности ускорений точек движущейся системы (ср. гл. II, п. 4), как это следует из основного уравнения та = F-{-Б.
Действительно, обратимся к случаю одной материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой поверхности а (не изменяющейся с течением времени). Действительное перемещение надо считать (как виртуальное) необратимым только тогда, когда точка отрывается от поверхности в область, в которую связь не препятствует ей двигаться. Если точка P оставляет поверхность о в момент Z0, то в моменты, Z, непосредственно следующие за I0, реакция, очевидно, будет равна нулю. Так как это будет иметь место при каком угодно Z > Z0, как бы ни был момент Z близок к Z0, то мы заключаем, при допущении непрерывности реакции R, что она равна нулю, также и в момент Z0 начала перемещения, так что работа реакции для рассматриваемого перемещения, конечно, будет равна нулю.
К подобному же выводу мы придем, очевидно, и в случае двух материальных точек PP', связанных гибкой и нерастяжимой нитью; при такой связи необратимым будет всякое действительное перемещение, при котором две точки переходят из одной конфигурации с натянутой нитью в другую, бесконечно близкую конфигурацию с ослабленной нитью. Применяя подобные рассуждения к различным типам систем со связями, которые могут встретиться в природе, мы придем, как это уже было при рассмотрении принципа виртуальных работ, к следствию „б".
