Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
SL = So -іг+м'- ж,
которое, как мы видим, зависит от В, Ж, а также и от характеристических векторов 80 и о)' виртуального перемещения.
Так как здесь рассматриваются лишь связи, обеспечивающие неизменяемость системы, которые не могут допускать необратимых виртуальных перемещений, то можно воспользоваться общим уравнением статики; таким образом, мы приходим к заключению, что для равновесия необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение
SO- В + о)' • Ж= О
при каком угодно выборе характеристических векторов 80 и м', что равносильно двум условиям
B = О, Ж = 0;
эти условия совпадают с теми, которые мы уже нашли в качестве основных условий равновесия свободного твердого тела в п. 3 гл. XIII, так как в рассматриваемом случае активные силы являются в то же § 3. замечания о частных постулатах
255
зремя внешними и, наоборот, все внешние силы являются только
1ктивными.
В случае твердого тела, закрепленного в одной точке, выбрав іолюс в этой точке, мы можем выразить самое общее виртуальное іеремещение точки Pi (гл. VI, п. 17) в виде
8Pi = VtXOPi (і = 1, 2, ..., N)
я, следовательно, будем иметь
8Х = м' X М.
Так как бесконечно малый вектор о/ является совершенно произвольным, то обращение в нуль 8X равносильно условию M = О, которое было получено прямым путем в п. 5 гл. XIII как необходимое и достаточное условие равновесия твердого тела в этом случае.
Подобным же образом мы можем снова найти условие равновесия для твердого тела с закрепленной осью (гл. XIII, п. 8), между тем как, в случае тяжелого твердого тела, опирающегося на другие тела (гл. XIII, § 4), благодаря наличию односторонних связей мы получим условия равновесия, применив вместо общего уравнения общее соотношение статики SX <; 0.
13. Не бесполезно отметить, что в то время как силы, входящие в выражение виртуальной работы 8X, в общем соотношении статики все являются только активными, в элементарной статике (гл. XII, § 8) основные уравнения содержали внешние силы; потом из основных уравнений исключались реакции связей, поэтому окончательные условия равновесия содержат силы, которые являются одновременно активными (т. е. не происходящими от связей) и внешними.
Может показаться, что силы, рассмотренные обоими методами, не являются одними и теми же и что элементарный метод вводит только часть тех сил, которые участвуют в образовании 8Х.
Строго говоря, это действительно так; но речь идет о несущественном различии, потому что возможные внутренние активные силы, будучи попарно равными и прямо противоположными, ничего не прибавляют к SX (см. п. 3, „в") и, следовательно, от них можно отвлечься.
Поэтому из формального тождества окончательных условий равновесия (даваемых для различных случаев обоими методами), можно заключить о полном их совпадении, рассматривая в них только внешние активные силы.
14. Наконец, укажем еще, не приводя доказательства, что, исходя из принципа виртуальных работ, можно построить статику гибких и нерастяжимых нитей, полученную нами (гл. XIV) как предельный 256 гл. xv. принцип виртуальных рАбот и аналитическая статика.
случай статики стержневых систем на основе очевидного специального постулата (гл. XIV, § 7), если выразить аналитически все перемещения нити, совместимые с нерастяжимостью ее элементов. Это приводит, как показал Лагранж, к введению (сначала как вспомогательного элемента вычислений) функции T точек нити, которая потом истолковывается как натяжение; в конце концов этим путем мы приходим к тем же самым - векторным соотношениям, которые были уже найдены в упомянутой главе [неопределенное уравнение (42) и условия на концах (48)].
§ 4. Статика систем, находящихся под действием силы тяжести. Принцип Торричелли *)
15. Рассмотрим произвольную материальную систему S и предположим, что активные силы, действующие на нее, сводятся к весам отдельных ее элементов.
Если предположим, что ось г вертикальна и направлена вниз, и обозначим через гп{ массу произвольного элемента Pi, то сила Fi, приложенная к Pi, будет иметь проекциями
О, 0; mtg.
Обозначим через Ixi, Izi проекции перемещения 8Pi, испытываемого точкой Pi при любом виртуальном перемещении системы.
Виртуальная работа активных сил, очевидно, сводится к выражению
Ы= JlFi-= і і
где сумма распространяется на все точки Pu составляющие систему.
Введем координату центра тяжести G системы
"ZmiZi
где т есть масса системы.
!) Эванджелиста Торричелли родился в Фаенце в 1608 г., умер в Фиренце в 1647 г. После изучения в Романье гуманитарных и естественных наук отправился в Рим для усовершенствования под руководством Кастелли, ученика и друга Галилея. В 1641 г. он был приглашен Кастелли в Арчетри к его учителю, уже старому, слепому и больному, где помогал ему подготовлять к печати еще не опубликованные сочинения. Спустя три месяца Галилей умер,, и Торричелли стал его наследником по должности математика герцога тосканского. Торричелли был крупным геометром, но последующим поколениям известен главным образом своими открытиями в механике, среди которых нужно назвать принцип, приведенный в тексте, открытие атмосферного давления, изобретение барометра и формулу истечения тяжелой жидкости из сосуда через отверстие. Эта формула содержится в мемуаре „De motu gravium naturaliter descendentium". § 4. статика систем, находящихся под действием силы тяжести 257
