Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Имея в виду эти замечания, показать, что если при равновесии тонкого стержня, имеющего форму винтовой линии, внешняя сила F обращается в нуль и, следовательно, усилие Ф передается неизменным, то проекции его Фд на касательную, Ф2 на главную нормаль, Ф3 на бинормаль будут изменяться вместе с <р согласно формулам
= ч= A sin 0 cos (<р + о) В cos 0, Ф2 = A sin (<р + а)> Ф3 = A cos 0 cos (<р а) ± В sin 0,
где А, В, а (а также ив) — постоянные, а для знаков остается в силе указанное выше условие. В частном случае, когда усилие Ф является чисто осевым, A= 0.
16. В предположении, что внешние силы приложены исключительно к концам тонкого стержня, находящегося в равновесии (F = 0), на основании уравнений (75) остается постоянным не только Ф, но также и Г • Ф.
17. Вывести из внутренних уравнений равновесия тонкого стержня (п. 68) три дифференциальных соотношения, каждое нз которых содержит только одну из величин O1, Ф2, Га-
18. Определить (на основании уравнений п. 68) общие выражения для перерезывающего усилия и изгибающего момента вдоль тонкого кругового стержня, подвергающегося действию равномерно распределенных сил (Ft и fn — постоянные).
Указать статическое значение постоянных, вводимых интегрированием (представляя себе стержень разрезанным вдоль любого нормального сечения). Глава XV
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
§ 1. Принцип виртуальных работ
1. Чтобы установить условия равновесия материальной системы S какой угодно природы, когда известны связи и активные силы, под действием которых система находится, теоретически достаточно представить себе всякую связь замененной соответствующей реакцией и рассматривать систему как состоящую из свободных точек, каждая из которых находится под одновременным действием приложенных к ней активных сил и реакций. Условия равновесия получатся, если для каждой точки системы S приравнять нулю результирующую этих двух сил.
Уравнения равновесия, к которым мы таким образом приходим, содержат реакции связей, представляющие собой, вообще говоря, неизвестные силы, так как в число данных задачи входят лишь различные способы осуществления связей, а не самые реакции. Отсюда следует, что, если мы хотим выразить условия равновесия только посредством прямых данных задачи, мы должны из указанных выше уравнений исключить реакции (ср., например, гл. ХІІІ, § 3); в конкретных случаях, как это заранее можно предвидеть, этот способ исключения может оказаться весьма сложным, если не совсем невозможным.
Конечно, можно было бы попытаться упростить его, по крайней мере в некоторых случаях, следующим искусственным путем, подобным тому, которому мы следовали в случае стержневых систем (предыдущая глава). Так как мы уже вывели ранее условия равновесия для различных частных видов материальных систем (твердые тела, стержневые системы, нити,...), то можно представить себе, что данная система S разложена на отдельные системы, каждая из которых принадлежит к одному из этих видов, и введя, кроме активных сил, реакции, соответствующие взаимным связям различных частей системы S, написать уравнения равновесия для каждой из этих частей в отдельности. Но при этом в уравнения равновесия всегда будут входить реакции, подлежащие исключению; важно отметить, что при прочих равных условиях число подлежащих исключению реакций будет тем больше (и, следовательно, тем более трудным будет процесс их исключения), чем больше будет число связей, т, е. (пользуясь выражением, которое вполне точно в случае голо-номных систем), чем меньше будет число степеней свободы системы. § 1. принцип виртуальных работ
243
Все это показывает, насколько желательно установить такие способы, при применении которых реакции автоматически исключались бы из уравнений равновесия при самом составлении этих уравнений, как бы ни были разнообразны и сложны практические приспособления, осуществляющие связи. В случае связей без трения такой способ дается так называемым принципом виртуальных работ, который мы сформулируем и разъясним в следующем пункте, а индуктивное обоснование его дадим непосредственно после этого.
2. Принцип виртуальных работ, в своей наиболее общей форме, приложим как к статическим, так и к динамическим задачам. Его можно выразить так:
Реакции, происходящие от связей без трения, таковы, что сумма элементарных работ их равна нулю на всяком виртуальном обратимом перемещении и положительна гіли равна нулю на всяком необратимом перемещении (ср. гл. VI, §§ 3, 4).
Полезно отметить, что при составлении суммы работ реакций работа каждой из них должна быть вычислена на виртуальном перемещении той материальной точки, к которой она приложена в рассматриваемой системе. Так, если речь идет о системе материальных точек Pt> (г = 1, 2, ...) и JRi есть реакция, приложенная к точке Pi, то сумма работ SA реакций на виртуальном перемещении SPi определится соотношением
SA = 2 ^Ri-SP4-. і
Заметим, что сформулированному выше принципу можно придать более сжатую форму, а именно: сумма виртуальных работ SA реакций не может быть отрицательной.
