Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 94

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 134 >> Следующая


Однако между этими двумя случаями имеются существенные различия, на которых не бесполезно коротко остановиться в этом и следующем пунктах.

В то время как уравнения (42), (43) в силу характеристического постулата для гибких и нерастяжимых нитей (пп. 34, 40), необходимы и достаточны для равновесия, уравнения (72), (74) только необходимы; это станет ясным, если мы вспомним, что при их выводе мы ограничились выражением того, чтобы удовлетворялись основные условия для всякого элементарного слоя тела S. Этот слой должен рассматриваться не как материальная точка, а как деформируемая система, и потому о равновесии его нельзя судить на основании одних только суммарных величин (результирующей силы и результирующего момента активных сил), входящих в уравнения (72)-(74). Таким образом, эти уравнения обеспечивают только возможность, но не действительное существование равновесия.

Уравнения (72), (73) содержат, как и уравнение (42) в случае нитей (п. 40), основные уравнения для всякой конечной части тела S2, заключенной между двумя любыми нормальными сечениями о', о". К этому выводу можно придти, исходя из самого способа, посредством которого были получены уравнения (72), (73), но его также легко проверить и непосредственно. Если P' и Pn суть точки направляющей, соответствующие нормальным сечениям о', о", и s', s"— их криволинейные абсциссы, то прежде всего, интегрируя равенство (40) вдоль направляющей от P' до Р", имеем уравнение

и"

Ф (sff) — Ф (s') -[-J Fds = O,

которое и выражает обращение в нуль результирующей всех внешних сил, действующих на рассматриваемую часть тела S.

Что же касается результирующего момента всех внешних сил, который мы для определенности будем вычислять относительно точки P', то вспомним прежде всего, что для сил, прямо приложенных к слою, соответствующему любой точке P с криволинейной абсциссой Sf результирующий момент относительно точки P может § 9. равновесие тонких стержней

229

быть обозначен через M(s)ds и на основании уравнения (73) должен удовлетворять уравнению

ЛГ&-Ь dr + dP X Ф = 0. (73')

Результирующий момент всех прямо приложенных сил относительно тожки P определяется равенством

Ж' ds = [ДГ-f PrPX Fl ds.

Исключая Ж посредством уравнения (73') и принимая во внимание уравнение (72), получим

Ж ds -f dr + dP X Ф + PrP X ^Ф = О,

или

Ж' ds -f dr -f d [PrPX Ф} = О.

Отсюда, интегрируя вдоль направляющей от P' до Р", получим уравнение

S"

J Ж' ds — Г (s') + { Г (s") 4- Р'Р" X Ф Ю) = О,

S'

которое и выражает то, что результирующий момент относительно точки P' всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части тела 8, равен нулю.

66. Отметим теперь другую существенную разницу между уравнениями равновесия нити и уравнениями (72)—(74).

Первые, как мы видели, определяют фигуру равновесия нити, когда заданы внешние силы вдоль нити и условия на концах (типичный случай: нить, закрепленная на концах).

Вместо этого неопределенные уравнения (72), (73) дают шесть скалярных уравнений между силами, конфигурацией и усилиями, представляемыми в их совокупности двумя векторами Ф (s) и Г (s), каждый из которых имеет три проекции, так что уравнения (72), (73), дополненные условиями на концах (74), достаточны для определения этих двух векторов в зависимости от задаваемых как угодно сил и конфигурации равновесия.

Интуитивные физические соображения приводят к заключению, что конфигурация равновесия определяется внешними силами и условиями на концах, если только задана материальная природа системы, как это, например, можно заметить в случае металлического стержня, заделанного на одном конце и подвергающегося действию заданной системы сил на другом.

Отсюда следует, что, для того чтобы рассматриваемую нами статическую задачу представить в виде, отвечающем физической интуиции, необходимо помимо сил (и условий на концах) задать 230 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'

материальную структуру системы и вывести из нее некоторое дальнейшее относящееся к усилиям условие, которое вместе с системой уравнений (72), (73), (74) даст возможность определить в функции указанных выше данных конфигурацию равновесия.

В общем виде эта задача решается в теории упругости. Однако уже в случае гибких и нерастяжимых нитей мы имели первый пример такой физической постановки задачи; теперь в качестве прямой иллюстрации предыдущих рассуждений мы рассмотрим один типичный случай, в котором вместо двух лишних векторов, входящих в систему (72)—(74), имеется лишь один.

67. Тонкие стержни. Рассмотрим тело с криволинейной направляющей, равновесие которого мы изучали в предыдущих пунктах, и предположим, что наибольшее измерение h его нормальных сечений о сравнимо с элементом дуги ds направляющей, в тЬм смысле, что может рассматриваться наравне с ним как величина первого порядка. Такое тело в отношении геометрической конфигурации можно рассматривать как материальную линию. Что же касается нагрузок и вызываемых ими усилий, то мы будем считать, что, несмотря на малость поперечных сечений, нужно принимать во внимание также и моменты. Материальная система, определяемая таким образом, носит название тонкого стержня.
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed