Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 96

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 134 >> Следующая


Из соображений симметрии следует, что фигура равновесия стержня будет плоской; а так как весом стержня в этом случае можно пренебречь, т. е. положить F= О, то усилие Ф будет постоянным вдоль стержня. Для возможности равновесия, на основании уравнений для концов (74'), (74"), должно быть

Ф =-FA = FB.

Кроме того, при равновесии будет удовлетворяться уравнение

§+іХФ = 0, (78)

которое здесь сводится к скалярному соотношению, так как оба вектора в левой части перпендикулярны к плоскости фигуры.

Для того чтобы из этого уравнения можно было определить фигуру равновесия, необходимо задать некоторые дополнительные условия (п. 66). Чтобы охарактеризовать упругие стержни, вводятся два предположения, подсказываемые непосредственно интуицией, одно — качественного, другое — количественного характера.

а) Если предположим, что тонкий стержень сначала имеет прямолинейную форму и будем рассматривать его в каком-нибудь состоянии упругой деформации, оказывается естественным рассматривать изгибающий момент Г в любой точке Р, происходящий от внутренних действий, как момент упругих реакций, которые стремятся уничтожить искривление стержня, т. е. заставляют сечение, проведенное через точку Р, вращаться в ту сторону, поворот в которую уменьшает кривизну направляющей. Припоминая, что единичный касательный вектор t предполагается направленным в сторону возрастающих s, т. е. от А к В, и что вектор п направлен к центру кривизны, мы увидим, что указанное предположение качественного характера можно сформулировать так: изгибающий момент Г стремится повернуть вектор п в сторону вектора t и поэтому должен иметь направление, противоположное направлению вектора бинормали Ь.

б) Что же касается величины Г изгибающего момента, то допускают, что во всякой точке P направляющей она. пропорциональна разности значений е0 и с, которые имеет кривизна в Р, когда стержень находится в естественном состоянии и в условиях рассматриваемого вынужденного равновесия; т. е. полагают

Г = B\c-cq\, (79) 234 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'

где В обозначает положительную постоянную величину. Это соотношение, которое восходит к Якову и Даниилу Бернулли 1J и к Эйлеру, соответствует схематическому, но геометрически наглядному представлению о внутреннем механизме упругих явлений в балке и составляет теоретическую основу науки о сопротивлении материалов.

72. Для того чтобы освободить уравнение (79) от знака абсолютной величины, необходимо напомнить некоторые сведения из анализа бесконечно малых. Если дана плоская кривая и за параметр выбрана длина дуги s (отсчитываемая от любой ее точки), то равенства

x = x{s), у —у (в)

будут ее параметрическими уравнениями относительно каких-нибудь заданных осей координат.

Пусть 6 есть угол (отсчитываемый как положительный в направлении от оси X к оси у), который касательная в любой точке P кривой, ориентированной в сторону возрастающих s, образует с положительным направлением оси х\ обозначая дифференцирование по S штрихами, будем иметь

х' = Cos 6, г/'= Siii 6, ж" = — sin O ^j-, у" = cos 9^-, откуда следует

х'у"~х"у' = ^. (80)

Если обозначим через /с производную d<ijds (отношение угла смежности к соответствующей элементарной дуге), абсолютное значение которой есть кривизна с кривой в рассматриваемой точке, то будем иметь

& = rte;

1J Яков Бернулли родился в Базеле в 1654 г., умер там же в 1705 г., был в течение многих лет профессором математики в Базельском университете. Последователь Лейбница, он способствовал распространению анализа бесконечно малых и был одним из первых основоположников систематического изложения интегрального исчисления. Применял новые методы к вопросам механики, касающимся, в частности, цепной линии, таутохроны и плоской эластики.

Даниил Бернулли, сын Ивана Бернулли, родился в Базеле в 1700 г. и умер там же в 1782 г. Ближайший друг Эйлера, был его сотрудником в течение двадцати лет в Петербурге; затем вернулся в Швейцарию и преподавал, последовательно, медицину, метафизику и натуральную философию. Помимо известных работ по основам теории упругости и сопротивления материалов, указанных в тексте, мы обязаны ему исследованием по гидродинамике (содержащим, между прочим, знаменитую формулу, носящую его имя), известными исследованиями о колебаниях струны и первой научной попыткой создания кинетической теории газов. § 9. равновесие тонких стержней

235

остается выбрать знак, который мы должны приписать величине Jc (кривизна со знаком) в отличие от величины с, по определению существенно положительной (гл. I, п. 73).

Для этой цели заметим прежде всего, что Jc = db/ds не зависит от выбора осей координат (если, конечно, рассматриваются только пары осей, конгруентных друг другу в плоскости): действительно, длина дуги S не зависит от выбора осей, а угол 9 при изменении положения осей (если остается неизменным положительное направление вращения) возрастает во всех точках кривой на одну и ту же постоянную, положительную или отрицательную, так что приращение db остается неизменным. Следовательно, для определения знака Je мы можем обратиться к осям, выбранным наиболее удобным образом. Именно, мы возьмем за начало координат произвольную точку P кривой и за ось х касательную в Р, направленную в сторону возрастающих s, вследствие чего ось у будет однозначно определена тем условием, что она должна составлять с осью х систему осей, конгруентных с системой первоначальных осей. Относительно новых осей в точке P = 0 мы будем иметь
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed