Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
4. Два кольца Р, Q могут скользить (без трения) вдоль нити заданной длины и ничтожного веса, привязанной к двум точкам А, В.
На первое кольцо действует только его вес р, на второе кольцо с ничтожным весом действует сила величиной q в заданном направлении, не вертикальном, но содержащемся в вертикальной плоскости, проходящей через точки А, В.
При равновесии угол между двумя частями нити, которые сходятся в Р, должен делиться пополам линией действия приложенной силы (веса кольца PJ; то же самое нужно сказать и о частях нити, сходящихся в Q.
Доказать это свойство, исходя из замечания, что равновесие должно существовать и в том случае, когда мы закрепим одно из колец, благодаря 238 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
чему к другому можно применить рассуждения гл. IX, п. 13; два отрезка нити будут тогда фокальными радиусами-векторами эллипса, а сила будет направлена по нормали к эллипсу.
Отсюда тотчас же следует, осли принять во внимание условия равновесия колец (узлов) PnQ, что абсолютная величина растягивающего усилия остается постоянной вдоль нити.
Мы можем поэтому решить задачу графическим способом, пользуясь силовым многоугольником. Достаточно провести из какой-нибудь точки Qi отрезок QiQg, эквиполлентный весу р, из Q3 отрезок QaQ4, эквиполлентный другой силе з, и заметить, что полюс Qi должен находиться на равных расстояниях от точек Qv Q3, Qi (вследствие постоянства натяжения) и лежать в той же плоскости, что и эти точки, так что он должен совпадать с центром круга, описанного около треугольника QiQsQi-
Распространить решение на случай, в котором заданное направление силы q не лежит в вертикальной плоскости, проходящей через точки А, В, а также на случай, в котором вместо того, чтобы задать направление, требуют, чтобы линия действия силы q проходила через некоторую точку С вертикальной плоскости, содержащей точки А, В. (Заметим, что это последнее предположение можно осуществить очень просто, помещая в G блок, по желобу которого проходит нить, прикрепленная одним концом к кольцу Q и несущая на другом конце груз q.)
5. Тяжелая неоднородная нпть, прикрепленная к двум неподвижным точкам А, В, находящимся на одной и той же высоте, располагается по дуге окружности (нижней полуокружности). По какому закону должна изменяться плотность (линейная) нити?
Каково выражение натяжения в любой точке?
6. Тяжелая нить, подвешенная за ее концы, располагается по кривой, представляемой уравнением су3 = as4 (с — постоянная, ось у вертикальна). В какой точке находится максимум линейной плотности нити? Каково это максимальное значение?
1J. Два конца А и В поддерживающего каната висячего моста не находится на одном и том же уровне. Обозначив через h превышение точки А над В, через f превышение точки В над нижней точкой каната (стрела провеса), через а пролет, через 2р вес 1 поі. м моста, определить наибольшее натяжение, которому подвергается канат.
8. Канат закреплен в двух точках А, В, расположенных на одном и том же уровне. Rro нагрузка состоит из двух равных клиньев, имеющих вид прямоугольных треугольников, симметрично расположенных относительно средней вертикали таким образом, что два катета их горизонтальны, равны каждый ABfi и имеют на средней вертикали общую точку, представляющую собой общую вершину острых углов треугольников.
Можно считать, что на каждый элемент ds нити действует вертикальная сила (направленная вниз), пропорциональная горизонтальной проекции элемента и своему расстоянию от средней вертикали. Принимая эту вертикаль за ось у (с положительным направлением вверх) и обозначая через р множитель пропорциональности, показать, что для проекции Y силы, отнесенной к единице длины, мы будем иметь выражение —р I X 1 ~ (пп. 46 и 50).
Определить веревочную кривую на основании уравнений (45), а также (при очевидном значении букв) соотношение между /', <р, р и а.
9. Длина дуги s цепной лцнии, отсчитываемая от вершины (нижней точки), выражается через угол наклона 0 касательной к горизонтальной упражнения
239
плоскости формулой [см. формулы (55) и (57)]
s
1 P
tgo.
Однородная тяжелая нить AC длиной I прикреплена одним концом к данной точке А и свешивается таким образом, что, начиная от некоторой точки В, идет далее по линии наибольшего наклона данной плоскости я. В точке А имеется стенка, наклоненная под углом а к вертикали, и нить касается ее. Угол наклона плоскости я равен ?. Определить длину Z1 куска BU нити, лежащего на этой плоскости, в предположении, что трение ничтожно и им можно пренебречь. (Приравнять значения натяжений в точке В, относящихся к кускам AB и ВС. Первое определяется обычной формулой для натяжения цепной линии [формулой (65)]; второе —это надо доказать — равно произведению веса куска ВС на sin ?.)
10. Дана однородная нить длиной I. В одном случае концы ее прикрепляют к двум неподвижным точкам А и В, лежащим на одной и той же горизонтали, и оставляют под действием ее веса. В другом случае ее поддерживают также и в средней точке, прикрепляя эту точку к средине С отрезка AB. Доказать, что в крайних точках А, В обе цепные линии второго случая имеют тот же самый наклон, что и цепная линия в первом случае, в то время как натяжение во втором случае в два раза меньше, чем в первом.
