Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
F1SZ14- F2 M2 4- ... 4-fn &h < О, т. е. как раз в соотношение (1) из п. 5.
9. В пп. 4 — 7 было доказано, что для систем со связями без трения и не зависящими от времени условие
SX < О (1)
необходимо и достаточно для равновесия. Но, как мы уже указывали в самом начале, можно доказать, что оно является необходимым и достаточным условием равновесия также и для систем со связями без трения и как угодно изменяющимися во времени.
Соотношение (1), взятое в этом общем своем значении, обычно называется общим соотношением статики.
Если система не допускает необратимых виртуальных перемещений, что будет иметь место, если система не имеет односторонних связей, то соотношение (1) сводится к равенству
SX = O (1')
и называется общим уравнением статики.
10. Из соотношения (1) можно вывести два следствия.
1) Если к системе активных сил способных удерживать данную материальную систему S в равновесии, присоединяется другая система сил S', также способная удерживать S в равновесии, то результирующая система сил S-f-S' (т. е. система, составленная из сил систем S и S') также удовлетворяет условиям равновесия.
2) Если материальная система S1 отличается от системы S наличием некоторых добавочных связей и если некоторая система сил S удерживает S в равновесии, то тем более она будет удерживать в равновесии систему S1. Действительно, виртуальные перемещения системы S1 все содержатся среди виртуальных перемещений системы S; поэтому, если соотношение (1) удовлетворяется для всех виртуальных перемещений системы S, то тем более оно будет удовлетворяться для всех виртуальных перемещений системы S1 (но не обратно). Если далее все связи двусторонние (или, в более общем § з. замечания о частных постулатах
253
случае, когда рассматриваемая конфигурация системы не является предельной), то из соотношения (1') выводим:
Если система активных сил, приложенных к материальной системе, находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и система, составленная из тех же самых сил, но обращенных в противоположные стороны.
§ 3. Замечания о частных постулатах, введенных в статике твердых тел и нитей
11. Мы занимались уже подробно статикой твердого тела (гл. XIII).
Наше изложение основывалось, если не считать основных принципов механики, только на одном специальном постулате (гл. XIII, п. 1):
Равновесие твердого тела не нарушается, если к двум любым его точкам прикладываются две равные по величине и прямо противоположные силы.
Мы покажем сейчас, что это утверждение, введенное ранее как самостоятельный постулат ради удобства, т. е. ради возможности дать простое и элементарное изложение всей статики твердого тела, теоретически является лишь частным следствием принципа виртуальных работ.
Доказать это можно непосредственно. Достаточно с одной стороны заметить, что естественные твердые тела, к которым относится указанный выше характеристический постулат, должны (приближенно) рассматриваться как неизменяемые системы. G другой стороны, вспомним (п. 3), что сумма элементарных работ двух равных и прямо противоположных сил на всяком (бесконечно малом) перемещении, не изменяющем расстояния между точками приложения сил, равна нулю; это обстоятельство имеет место для всякого виртуального перемещения твердого тела.
После этого становится ясным, что если твердое тело (с какими угодно связями) находится в равновесии и, следовательно, сумма виртуальных работ различных активных сил bL <; 0, то это же соотношение будет иметь место и после присоединения двух равных и прямо противоположных сил, так как сумма элементарных работ таких сил при всяком виртуальном перемещении твердого тела равна нулю.
12. Так как характеристический постулат статики твердого тела входит в принцип виртуальных работ, то в него должны входить также и его следствия, в частности условия, определяющие равновесие в различных случаях, рассмотренных в гл. XIII.
Укажем здесь коротко, как можно их снова найти, пользуясь общим соотношением статики.
Рассмотрим сначала свободное твердое тело, т. е. систему материальных точек, подчиненных исключительно связям неизменяемости; 254 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
пусть тело находится под действием данных активных сил. Вспомним сначала, что, выбрав за центр приведения какую-нибудь точку О, неизменно связанную с телом, мы получим наиболее общее виртуальное перемещение какой нибудъ точки Pi в виде (гл. VI, п. 16)
SPi = 80 + «' XOPi,
где 80 и о)' обозначают два произвольных бесконечно малых вектора (виртуальное перемещение полюса О и виртуальное вращение вокруг точки О).
Поэтому если Fi есть равнодействующая сил, прямо приложенных к точке Pi, то виртуальная работа активных сил определится равенством
і
раскрыв скобки и приняв во внимание векторное тождество (гл. I, п. 25) Fi - [о/ X OPi] = ю' • [OP4 X Fi],
MJ.I приведем полученное равенство к виду
SL = SO- 2 + <¦>'• 2 <эр<х*\-
і і
Обозначив результирующую активных сил и их результирующий момент относительно точки О, входящие в последнее равенство, соответственно через В и Ж, мы получим общее выражение для виртуальной работы активных сил
