Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, для необратимых перемещений это как раз и утверждается в высказанном только что принципе; для обратимых перемещений рассмотрим вместе с любым обратимым перемещением противоположное ему перемещение; характеристическое неравенство охватывает тогда одновременно случаи
8А>0 и SA <0; оба эти случая будут совместимы только при условии, чтобы было
SA = 0.
Оставляя в стороне системы с односторонними связями (что довольно часто делается даже без явной оговорки), мы можем рассматривать только обратимые перемещения; в этом случае принцип виртуальных работ требует, чтобы работа реакций обращалась в нуль на всяком виртуальном перемещении, совместном со связями, и поэтому выражается равенством
SA = O. 244 гл. ху. принцип виртуальных Работ и аналитическая статика
Заметим, наконец, что свойство реакций, выражаемое принципом виртуальных работ, не зависит от способа осуществления связей. Это же можно сказать и об общих условиях равновесия, которые мы выведем в ближайшем параграфе из этого принципа для любой материальной системы. Таким образом, будет оправдан тот взгляд на независимость условий равновесия от способа осуществления связей, который был введен как руководящее правило в элементарной статике точки (гл. IX, п. 12) и с надлежащими оговорками, в тех случаях, когда следует принимать во внимание трение и пассивные сопротивления (поскольку эти последние можно представить в виде трения в связях).
В. С физической точки зрения законность принципа виртуальных работ можно обосновать, показав, что он оправдывается (т. е. оказывается согласным с опытами) в весьма большом числе частных случаев; отсюда мы и приходим к естественному и необходимому выводу, что его надо считать справедливым вообще.
а) В случае одной точки, вынужденной оставаться на поверхности или на кривой (лишенной трения), имеется одна реакция, нормальная соответственно к поверхности или к кривой, тогда как всякое виртуальное перемещение (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых порядка выше первого) расположено в касательной плоскости или соответственно на касательной прямой.
Поэтому элементарная работа (скалярное произведение силы на перемещение) будет равна нулю.
б) Остановимся на случае односторонней связи. Например, предположим, что точка, находясь на поверхности, не может перейти через нее на Другую сторону, но ничто не мешает ей сойти с поверхности в ту сторону, на которой она находится.
В обыкновенной конфигурации (гл. VI, п. 21) связь не действует, и потому работа R • ЬР равна нулю. В пограничной конфигурации реакция в силу своей природы направлена в ту сторону от поверхности, на которой находится точка, и нормальна к поверхности. Эти свойства реакции, подсказываемые наблюдениями, равносильны принципу виртуальных работ.
Действительно, на всяком необратимом перемещении, т. е. на перемещении, которое направлено в наружную сторону, реакция и перемещение образуют острый угол и работа положительна; у всякого обратимого перемещения этот угол прямой и работа равна нулю.
в) В случае неизменяемой системы достаточно обратить внимание на то обстоятельство, что реакции связей (реакцйи, возникающие вследствие неизменности расстояний между точками системы, а не реакции, происходящие от возможных связей с другими телами, посторонними для системы) являются силами внутренними и потому попарно равными и направленными в противоположные стороны. § 1. принцип виртуальных работ
245
Полная работа внутренних реакций может поэтому рассматриваться как сумма работ, выполненных этими равными и прямо противоположными силами, и утверждение, заключающееся в принципе виртуальных работ, будет доказано, если сумма элементарных работ каждых двух таких сил будет равна нулю.
Пусть Р, P' будут две какие угодно точки системы ЬР, ЬР' — соответственные перемещения, испытываемые точками в общем виртуальном перемещении системы; JR— сила, с которой точка P' действует на Р, и JR' = — JR — сила, с которой точка P действует на P'. Во всяком движении неизменяемой системы (гл. III, п. 2) скорости двух любых ее точек имеют равные проекции на соединяющую их прямую. То же самое свойство принадлежит, следовательно, и бесконечно малым перемещениям, испытываемым точками (в действительном движении системы) в течение некоторого промежутка времени dt.
Так как, когда речь идет о системе со связями, независящими от времени, всякое виртуальное перемещение является также и возможным (гл. VI, п. 14), то мы можем считать, что ЬР и ЬР' имеют равные составляющие по направлению PP'.
Обозначим^ через А общее значение этих составляющих, представив себе для определенности, что за положительное направление на PP' берется направление силы JR.
Тогда виртуальная работа В • ЬР силы M сведется к .RA (в силу определения скалярного произведения), а виртуальная работа Tt' • ЬР' силы JR' — к —НА.
Отсюда следует, что
В ¦ ЬР +R' ¦ ЬР' = О.
г) Если, наконец, связи, наложенные на твердое тело, таковы, что в теле имеется закрепленная точка или закрепленная прямая или тело опирается (без трения) на другие тела, то мы тотчас же видим, что виртуальная работа реакций, происходящих от этих связей, равна нулю в первых двух случаях и положительна или равна нулю в третьем.
