Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Для равновесия тонкого стержня будут иметь силу уравнения (72)—(74) п. 64, из которых для удобства мы перепишем здесь неопределенные уравнения
^ + гХф + Ж==0. (73)
Но если, как обычно, в качестве типичной активной_ силы берется вес, то мы приходим к предположению о внешних "силах, которое допускает замечательное упрощение уравнений (74') и (74"). Именно, руководствуясь поведением силы тяжести, допустим, что величина результирующей Fds всех сил /, действующих на различные элементы элементарного слоя тонкого стержня, будет того же самого порядка, что и сумма Е|/| их абсолютных значений1). Тогда соответствующий результирующий момент Mds (относительно точки Р, определяющей положение слоя на направляющей) будет иметь порядок величины S I f 18, где величина 8 не должна превосходить наибольшего значения h поперечного сечения тонкого стержня, так что вектор M ds будет сравним по величине с F hds. Так как величина h предполагается достаточно малой для того, чтобы ее можно было рассматривать как величину того же порядка,
1J Заметим, что аналогичное предположение об усилиях Ф оказалось бы незаконным. § 9. равновесие тонких стержней
231
что и ds, то заключаем, что Ж будет того же порядка, что и Fds, или, на основании уравнения (72), того же порядка, что и dФ. Если мы допустим, в согласии с характером задачи, что изменение усилия Ф на толщине ds любого слоя, т. е. вектор <ЯФ, весьма мало по сравнению с самим усилием Ф, то вектор M (который будет порядка с1Ф) можно считать весьма малым по сравнению с t X Ф (порядка Ф). Таким образом, в уравнении (73) надо положить Ж"= 0, благодаря чему уравнения равновесия стержня приводятся к виду
+ f + ^ = 0; (75)
в эти уравнения, как уже было указано в конце предыдущего пункта, входят только три вектора F, Ф и Г. Естественно, что условия на концах сохраняют вид уравнений (74'), (74").
68. Если мы отнесем неопределенные уравнения (75) предыдущего пункта к естественному трехграннику t, п, Ъ направляющей кривой, то получим так называемые внутренние, или естественные уравнения, аналогичные уравнениям (68) п. 56, относящимся к нитям. Положив
Ф = Ф1г + Ф2*г + Ф3&, Г^^г + Гаи+Г,^
и приняв во внимание формулы Френе (гл. I, п. 79) и очевидное тождество
«х Ф = Ф2& —Ф3п,
мы найдем, что уравнения (75) перейдут в шесть скалярных уравнений:
^ + + + = ^ + ^ + хГв-Фв^О, Ф2 + П = 0, ^>_хГ2 + Ф2 = 0;
когда мы имеем тонкий стержень с плоской направляющей, относительно плоскости которой можно считать симметричными как активные силы, так и силы молекулярного взаимодействия, внутренние уравнения приводятся к трем уравнениям:
І|і_сФ2 + ^ = 0, + +Fn- О,
так как в этом случае т = 0, Fb = Ф3 = О, T1 = T2 = 0. 232 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
69. Взяв снова уравнения (75), предположим, что действующая сила F тождественно равна нулю вдоль стержня, как это, например, имеет место, когда речь идет о стержне, весом которого можно пренебречь по сравнению с силами, приложенными на концах. При таком предположении первое из уравнений (75) имеет интеграл
Ф = const,
т. е. усилие остается постоянным вдоль стержня.
Далее, так как второе из уравнений (75) можно написать в виде
(76)
то, проинтегрировав его вдоль направляющей от точки A (s = 0) до точки P с криволинейной абсциссой s, получим
Г(«) + ІРХФ = Г(0), или, принимая во внимание второе из уравнений для концов (74'),
Ж4 + Г(в)+ІРХФ = 0. (77)
Векторное соотношение (77) выражает обращение в нуль результирующего момента относительно точки А всех сил, действующих на часть AP стержня; мы могли бы написать это соотношение и непосредственно, как второе из основных уравнений равновесия.
70. Динамометры. Результаты предыдущего пункта приложимы к случаю пружинных весов (динамометр), состоящих в основном (гл. VII, п. 14) из пружины, изогнутой по винтовой линии и прикрепленной одним своим концом А к оправе и имеющей на другом конце отросток, расположенный по ее оси; на конец В отростка действует осевая сила Fb (Mb = 0). Ввиду того что мы можем здесь пренебречь весом пружины (F = O), усилие Ф будет постоянным и, вследствие первого из уравнений для концов (74"), равным Fb- Кроме того, из уравнения, аналогичного уравнению (77) и относящегося к- концу В, полагая в нем Ф = Fb и Mb = О, выводим
Y(s) + BPXFb = О,
т. е. в любой точке P момент Г усилий по абсолютной величине равен, а по знаку противоположен моменту относительно этой точки силы Fb.
71. Плоская эластика. В качестве последнего приложения результатов п. 69 рассмотрим тонкий стержень AB, который в состоянии естественного равновесия, т. е. при отсутствии всякой § 9. равновесие тонких стержней
233
активной силы, имеет форму плоской кривой. Предположим, что он достиг состояния вынужденного равновесия под действием данных активных сил, приложенных к его концам и симметричных относительно его плоскости, т. е. под действием двух сил Fa и Fb, приложенных к концам А и В и лежащих в плоскости стержня, и двух (изгибающих) моментов Ma и Mb, перпендикулярных к этой плоскости.
