Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается натяжения, то из уравнения (65), приняв во внимание уравнение (56'), можно вывести приближенное выражение
T = ?+
которое, если написать его для концов (х = ±:а{2), дает наибольшее значение натяжения
— T+^. (67)
В заключение отметим, что, в том случае, когда натяжение велико (ра мало по сравнению с <р), цепную линию можно приближенно рассматривать как параболу § 8. естественные уравнения равновесия нитей
217
отнесенную к осям с началом в самой нижней точке; если точки прикрепления находятся на одном и том же уровне, то стрела прогиба f, длина нити I и наибольшее натяжение определяются (через вес р единицы длины, пролет а и горизонтальную составляющую натяжения на вонцах <р) формулами (48') И (51) п. 49 и формулой (67)
Из первого и третьего из этих равенств, очевидно, снова найдем равенство (66).
55. Между случаем нагрузки, пропорциональной длине элемента (однородная цепная линия), и случаем нагрузки, пропорциональной горизонтальной проекции элемента (висячий мост), по отношению к дифференциальным уравнениям (52) и (45') существует только одно различие: вместо величины р в первом случае, во втором входит величина р dxjds. Если обозначим через 0 угол наклона (к горизонту) касательной к веревочной кривой в любой ее точке, то dxjds Зудет не что иное, как cos O, так что разность между обеими нагрузками равна р (1 — cos 9). Если йить натянута так сильно, что можно пренебречь членами второго порядка относительно 6, то можно пренебречь и величиной 1 — cos 9, так что оба случая совпадают.
Таким образом, возможность замены, при данных обстоятельствах, дуги цепной линии дугою параболы можно было предвидеть на основании сравнения дифференциальных уравнений. Однако если мы хотим придать условиям заменяемости (как это делалось в предыдущем пункте) форму, непосредственно выводимую из практических данных вопроса, необходимо предварительно проинтегрировать дифференциальные уравнения.
§ 8, Естественные уравнения равновесия нитей и прйложення
56. Возвратимся к общему случаю непрерывной нагрузки (пп. 38—48) и рассмотрим опять векторное уравнение
W+F-°> (42)
которое объединяет в себе условия равновесия. Полагая в нем T=Tt (где t обозначает обычный единичный вектор касательной тс веревочной кривой, ориентированный в сторону возрастания s) и принимая во внимание первую векторную формулу Френе (гл. I, п. 79), получим
ft+Ln+F= о, 218 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
где г обозначает радиус кривизны веревочной кривой и п — единичный вектор, направленный по главной нормали и ориентированный от любой точки кривой к соответствующему центру кривизны.
Если спроектируем предыдущее векторное уравнение на три ребра естественного трехгранника (касательную, главную нормаль и бинормаль, ориентированные согласно условиям, принятым в гл. I) и обозначим через Ft, Fn, Fb соответствующие проекции силы, отнесенной к единице длины, то придем к трем скалярным уравнениям:
f+^ = 0, ^ + Fn = O, Fb = 0, (68)
которые носят название внутренних, или естественных уравнений равновесия гибкой и нерастяжимой нити. Из третьего уравнения прямо следует, что при равновесии линия действия силы, отнесенной к единице длины, во всякой точке веревочной кривой лежит в соответствующей соприкасающейся плоскости.
57. Нить, натянутая на гладкой поверхности. Применим естественные уравнения (68) к изучению фигуры равновесия нити, натянутой на какой-нибудь поверхности силами, приложенными к концам нити. Здесь силы, непрерывно распределенные вдоль нити, представляют собой реакции опоры, если можно отвлечься от веса, т. е. если вес (полный) можно считать весьма малым по сравнению с растягивающими усилиями, приложенными к концам.
В рассматриваемом нами идеальном случае гладкой поверхности все элементарные реакции нормальны к ней; с другой стороны, реакция, отнесенная к единице длины, во всякой точке веревочной кривой, как мы видели в предыдущем пункте, должна лежать в соприкасающейся плоскости к кривой; отсюда можно заключить, что во всякой точке веревочной кривой соприкасающаяся плоскость нормальна к поверхности опоры.
Напомним теперь, что кривые, лежащие на поверхности и имеющие то свойство, что во всякой их точке соприкасающаяся плоскость нормальна к поверхности, называются геодезическими линиями. Полезно обратить внимание на то, что определенные таким образом кривые характеризуются также и тем свойством, что каждая из них представляет собой кратчайшую линию на поверхности между любыми двумя точками кривой (не слишком удаленными друг от друга). Например, на сфере геодезические линии представляют собой окружность больших кругов; каждая дуга такой окружности, меньшая полуокружности, представляет собой кратчайшую линию на сфере между соответствующими концами. В более общем случае поверхности вращения всякий меридиан является геодезической линией (но, конечно, нельзя сделать обратного заключения): действительно, на поверхности вращения нормаль к по- § 8. естественные уравнения равновесия нитей
