Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 91

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 134 >> Следующая


Для исследования равновесия в таких случаях обратимся опять к естественным уравнениям

= Fn + T = °> ^ = 0 <68>

и предположим, что активные силы действуют только на концах нити; тогда F будет представлять собой неизвестную силу, с которой поверхность о действует на единицу длины нити. Отбросим, кроме того, предположение об отсутствии трения. В этом случае, ввиду того что реакция F не необходимо нормальна к о, касательная составляющая Ft может быть, и вообще говоря, будет отличной от нуля; поэтому, на основании первого из уравнений (68), то же саМое будет иметь место и для dT/ds, так что натяжение будет, вообще говоря, изменяться вдоль нити. Задача, которую мы здесь будем рассматривать, и заключается в том, чтобы оценить в статических условиях возможную разность между растягивающими усилиями Та и Tb на концах, или, что одно и то же, разность между величинами Fa и Fb сил, приложенных к концам нити.

Для этой цели необходимо определить реакцию F, отнесенную к единице длины нити, как функцию s. Для простоты мы ограничимся здесь рассмотрением частного (и как увидим, особенно интересного) случая, когда нить располагается на поверхности о вдоль геодезической линии, т. е. вдоль одной из таких кривых, которые дают возможные конфигурации равновесия и при отсутствии трения.

Главная нормаль к веревочной кривой совпадает в этом случае с нормалью к поверхности (п. 57), так что составляющая Fn тождественна с нормальной реакцией поверхности. Кроме того, так как Fb = 0, то проекция силы F на касательную плоскость, т. е. сила трения (отнесенная к единице длины), направлена по касательной к веревочной кривой и поэтому совпадает с Ft.

Рассматривая всякий элемент ds нити, расположенной на поверхности а, как материальную точку, находящуюся в равновесии 222 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'

иа шероховатой поверхности, вспомним, что реакция такой поверхности может быть направлена только во внешнюю для тела часть пространства н не должна лежать вне соответствующей полости конуса трення.

Теперь из второго из уравнений (68) следует, что, для того чтобы натяжение T было положительным, должно быть Fn < 0; это, так как реакция F, как мы видели, может быть направлена только во внешнюю для тела часть пространства, означает, что главная нормаль к веревочной кривой (направленная к центру кривизны) направлена внутрь тела, или, другими словами, веревочная кривая обращена во всякой своей точке вогнутостью к телу, ограничиваемому поверхностью о.

Другое условие для реакции, указанное ранее, выражается соотношением

m<f\Fn\,

где f обозначает коэффициент трения. Отсюда, принимая во внимание естественные уравнения (68), заключаем, что при равновесии нити между натяжением и его дифференциалом должно существовать соотношение

\dT\4?fZr\d8\. (69')

Полезно отметить, что, при сделанных предположениях, неопределенные уравнения равновесия по существу прнводятсй к соотношению (69'). Действительно, достаточно, чтобы оно удовлетворялось, для того чтобы существовала реакция поверхности о [величина F, определяемая из уравнений (68)], способная обеспечить равновесие каждого элемента нити.

Из соотношения (69) мы снова находим, что предположение f= 0 влечет за собой равенство dTjds = 0, или же T= coast; при произвольном f соотношение (69') показывает, что натяжение должно изменяться маю и при прочих равных условиях будет 'изменяться тем менее, чем меньше будет f.

61. Определим теперь наибольшее значение разности между натяжениями Та и Tb на концах, при которой еще возможно равновесие.

Для этой цеди условимся, во-первых, считать положительной дугу s, отсчитываемую от і к Б, и, во-вторых, заметим, что,

п

если имеется сумма конечного числа слагаемых 2 аі>не зависимых

І = 1

между собой и таких, что каждое а,- может быть как положительным, так и отрицательным, но не может превзойти по абсолютной величине некоторого максимума т{, то рассматриваемая сумма будет иметь наибольшее значение по абсолютной величине только § 8. естественные уравнения равновесия нитей

223

тогда, когда слагаемые или вее положительны, или все отрицательны и каждое достигает соответствующего максимума абсолютной величины. Это замечание мы можем применить к нашему случаю, переходя к пределу и принимая во внимание, что разность Tb — Та есть сумма элементов dT на отрезке нити от А до В. При наибольшем значении разности Tb — Та мы должны иметь в силу соотношения (69')

' г '

где вдоль всей нити будет или знак плюс или знак минтс. Мы можем предположить, что имеем знак плюс (т. е. что натяжение возрастает, когда мы идем вдоль нити в направлении от а к в), так как в противном случае достаточно изменить положительное направление отсчета дуг на нити. При этом предположении, разделив обе части предыдущего равенства на T и проинтегрировав от А до В, получим

Ing = J fdi, (70)

л ab

в то время как в случае, когда имеем знак минус, будет существовать аналогичная формула, которая получается из предыдущей, если мы в левой части заменим Та на Tb-
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed