Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть соотношение, которое должно существовать между натяжениями та и Tb при наибольшей разности этих натяжений (совместной с равновесием). Если натяжение на одном из концов, например та, задано, то тем самым tg будет однозначно определено и, следовательно, будет также определено и численное значение указанной выше наибольшей разности натяжений.
Особенно интересен случай веревки, навернутой по дуге окружности на круглый цилиндр. Радиус кривизны г совпадает тогда с радиусом цилиндра, и если обозначим через 8 центральный угол, заключенный между А и В (считаемый положительным от А к В), то ds будет равно rdb. Предполагая f постоянным, из уравнения (70) получим
In ^ = /-8, (71)
А
ИЛИ
^ = A (71')
Отсюда мы видим, что наибольшее отношение натяжений, допустимое без нарушения равновесия, зависит от величины угла 9, но не от радиуса цилиндра.
Так как показательная функция ef" растет очень быстро, то достаточно обернуть веревку вокруг цилиндра небольшое число раз 224 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
для того, чтобы могло существовать равновесие при огромной разнице между натяжениями.
Пусть, например, /"=Vs и требуется намотать веревку на горизонтальный цилиндр таким образом, чтобы весом в 1 кг, приложенным к одному концу веревки, уравновесить груз в1 т, подвешенный на другом конце веревки. Вследствие равенства (71) необходимо, чтобы ? было равно, по крайней мере, In 1000; так как отношение между десятичным логарифмом (который мы будем обозначать lg) и натуральным логарифмом одного и того же числа есть 0,434..., достаточно будет принять
IglOOO _ 9 d 0,434 "0,434
Так как каждому витку соответствует угол то число необходимых витков будет >-20,7/2тг = 20,7/6,28; таким образом, при четырех витках цель будет достигнута с избытком.
§ 9. Равновесие тонких стержней
62. Мы назвали материальной линией (гл. X, п. 5) всякое тело, одно измерение которого настолько преобладает над остальными, что конфигурация системы может достаточно хорошо определяться какой-нибудь одной его внутренней кривой, называемой направляющей. Известным примером материальных линий являются гибкие и нерастяжимые нити, которые мы рассматривали в предыдущих параграфах. При изучении вопросов их равновесия мы пренебрегали поперечными размерами нити не только с точки зрения геометрической конфигурации, но также и при оценке действия приложенных сил. Действительно, рассматривая силы, под действием которых находится часть материальной линии, соответствующая любому элементу ds направляющей, мы считали, что их можно заменить одной силой Fds, приложенной в какой-нибудь точке P элемента дуги ds. В действительности эта сила заменяет силы, приложенные в различных точках Q рассматриваемого элемента материальной линии. В таких случаях, при поперечных размерах, достаточно малых для того, чтобы с геометрической точки зрения тело можно было рассматривать как линию, с физической точки зрения может оказаться незаконным при оценке действия сил отождествлять все точки Q рассматриваемого материального элемента с точкой Р, т. е. пренебрегать моментами относительно точки P (а вместе с ними и результирующим моментом) сил, приложенных в различных точках Q.
Здесь мы дадим краткие указания о постановке названной статической задачи, когда учитываются и эти моменты приложенных сил. § 9. равновесие тонких стержней
225
63. Отвлекаясь сначала от предположения, что речь идет о материальной линии, рассмотрим тело S какой угодно физической структуры, и допустим, что геометрическая конфигурация тела может быть определена плоской площадкой о (фиг. 68), которая, изменяясь по величине и по форме, движется, описывая своей внутренней точкой P некоторую дугу AB (направляющая) и оставаясь во всяком своем положении нормальной к этой кривой. Обозначим через
01, о2 элементарные площадки на концах А и В, обе нормальные, по предположению, к направляющей. Если допустим, для простоты, что каждое сечение тела, нормальное к направляющей, пересекает эту кривую только в одной точке, то сечение, проведенное через любую точку P направляющей, можно определить длиной S дуги АР, отсчитываемой в направлении от А к В, принимаемом за положительное.
После этого представим себе, что тело 8 удерживается в равновесии некоторыми Силами, приложен- Фиг. 68. ными в точках площадок O1,
02, и некоторой системой непрерывно распределенных сил, действующих на тело; обозначим через Fa и Fb результирующие сил, приложенных соответственно к площадкам O1, о2, и через Ma, Mb соответствующие результирующие моменты относительно точек А и В.
Что же касается непрерывно распределенных сил, то мы будем предполагать, что они приложены к каждому материальному элементу тела и имеют порядок элемента массы, или, что одно и то же, порядок элемента объема (массовая сила), как, например, для силы тяжести.
Если рассмотрим в теле S любой элементарный слой, т. е. часть тела, заключенную между двумя нормальными сечениями о, о', соответствующими точками P и P' = P-\-dP направляющей с криволинейными абсциссами s и s + ds, то силы, прямо приложенные к материальным элементам слоя, приведутся к результирующей силе, приложенной в точке Р, и результирующему моменту относительно Р, которые после выполнения интегрирований по конечной площади а принимают вид Fds и Mds, где FkM обозначают два определенных конечных вектора, представляющих собой функции дуги s. Подобно тому как мы условились в случае нитей в п. 38, мы будем называть эти два вектора, характеризующие совокупность активных сил, действующих на элементарный слой, смежный с Р, результирующей силой и результирующим моментом системы сил, отнесенными к единице длины напра-вляющей, в точке Р. 226 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
