Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
219
верхностн в какой-нибудь ее точке лежит в соответствующей меридианной плоскости, которая является соприкасающейся плоскостью меридиана, проходящего через эту точку. Таким образом, для цилиндра геодезическими линиями будут винтовые линии (и, в частности, образующие и окружности нормальных сечений).
Возвращаясь после этого краткого отступления к нашей задаче, мы можем сформулировать полученный немного ранее результат так:
Нить, натянутая на гладкой поверхности гь подвергающаяся действию активных сил только на концах, располагается по геодезической линии этой поверхности. Такям образом, натянутая нить, если она не слишком длинна (не превышает половины окружности большого круга в случае сферы), отмечает на поверхности самый короткий путь от одного ее конца до другого.
Кроме того, при равновесии реакция во всякой точке будет нормальной к поверхности, и потому Ft = 0, а из первого из уравнений (68) следует, что
T = const,
т. е. натяжение передается неизменным от одного конца нити к другому; в частности, на концах нити (s = 0 и s = l) имеем
T(O) = T(I),
так же как .и в случае свободной нити, находящейся под действием только двух сил, приложенных к ее концам.
68. Результаты предыдущего пункта позволяют понять, как происходит передача сил посредством нитей, блоков и грузов, к которым мы уже обращались несколько раз, допуская, что в первом приближении натяжение нити на одном конце равно весу груза, подвешенного к другому концу (гл. YII, п. 13; гл. IX, п. 2). Теперь мы можем сказать, что это было бы строго справедливо в идеальном случае свободной или расположенной на гладкой поверхности нити, на которую не действуют другие активные силы.
Приближенно это заключение будет оставаться верным, если можно пренебречь:
1) силой, отнесенной к единице длины нити (по сравнению с силами, действующими на концах), и
2) силами, происходящими от трения в опорах.
Следует, однако, заметить, что, вообще, влиянием трения далеко не всегда можно пренебречь и что, напротив, во многих практически важных случаях влияние трения может быть весьма существенным, как мы это покажем на одном примере в пп. 60, 61,
59. Останавливаясь на общих соображениях, отметим одно непосредственное следствие естественных уравнений (68) в случае 220 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
консервативных сил. Если U (%, у, г) есть потенциал силы F, то для любого элементарного перемещения dP будем иметь
dU = F • dP
и, следовательно, в частности, для перемещения вдоль веревочной кривой dP = tds
dU = F-tds = Ftds.
Поэтому первое из уравнений (68) в этом случае можно написать в виде
d(T+U)_ ds ~и>
откуда следует, что
T+U= const, (69)
т. е. если силы консервативны, то натяжение нити отличается только на постоянную от потенциала, взятого с обратным знаком. Оно, следовательно, определено как функция от положения, независимо от знания веревочной кривой. В частности, если известны положения концов нити и значение натяжения в одном из них [что определяет постоянную в правой части уравнения (69)], то этим определяется и значение натяжения на другом конце.
Так, например, в случае однородной цепной линии (пп. 50—55) вес р единицы длйны относительно принимаемых нами осей имеет потенциал —ру, так что на основании уравнения (69) для натяжения будем иметь выражение
Т=ру + const;
достаточно заметить, что в самой нижней точке Т = <р, у = ^jp, чтобы заключить, что постоянная равна нулю. Таким образом, мы опять приходим к равенству
т=ру,
которое уже получили в п. 53.
60. Трение нити, расположенной на шероховатой поверхности. В п. 57 мы видели, что если нить, растягиваемая двумя силами Fa и Fb, приложенными к концам А и В, лежит на гладкой поверхности и не подвергается действию других внешних сил, то натяжение T в статических условиях постоянно вдоль нити, так что для равновесия требуется, чтобы обе силы Fa и Fb имели одинаковую величину; достаточно малейшего изменения, величины одной из них для того, чтобы равновесие было нарушено.
Это теоретическое заключение вполне объясняет, как это отмечалось в п. 58, действие нитей в экспериментальных лабораторных установках; но на практике мы встречаемся также с бесчисленным множеством Примеров материальных систем, которые можно упо- § 8. естественные уравнения равновесия нитей
221
добить нитям (веревки, канаты, цепи и т. д.), расположенным или навернутым на другие тела и удерживаемым в равновесии силами, приложенными к концам и далекими от того, чтобы иметь равные величины. Если канат намотан на столб, стоящий на берегу реки, то при достаточном числе витков силой одного человека, приложенной к концу каната, можно воспрепятствовать большой барже плыть по течению реки.
В таких случах равновесие, которое при отсутствии трения теоретически было бы невозможным, обусловливается трением нити о поверхность, на которую она опирается или навернута, т. е. мы встречаемся с обстоятельствами, подобными тем, которые мы иллюстрировали в п. 17 предыдущей главы примером лестницы.
