Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Но при равновесии на каждый элементарный слой, помимо активных сил с результирующей силой Fds и результирующим моментом (относительно PjMds, действуют силы, приложенные к площадкам о и о' и происходящие от соприкосновения со смежными слоями, если рассматриваемый слой не является одним из двух крайних слоев; в этом последнем случае площадка O1 или о2 подвергается соответственно действию Fa, Ma или Fb, Mb-Чтобы точнее описать силы, происходящие от соприкосновения с соседними элементами, рассмотрим любое нормальное (промежуточное) сечение а. При равновесии благодаря действию заданных активных сил в сечении а возбуждаются внутренние молекулярные силы, с которыми часть PB тела, или, точнее, ее материальные элементы, непосредственно прилегающие к о, действуют на отдельные поверхностные элементы о. Сила, приложенная таким образом к произвольному элементу поверхности о, представляет собой бесконечно малую величину одного и того асе порядка с элементом поверхности (поверхностная сила). Интегрируя по всей конечной площадке о, мы получим для усилий, действующих на площадку о со стороны части PB тела S, некоторую результирующую силу Ф и некоторый результирующий момент Г относительно точки Р, представляющие собой конечные функции дуги S. Векторы Ф и Г называются соответственно результирующим усилием и результирующим моментом усилий в точке P; составляющая усилия Ф, касательная к направляющей (и, следовательно, нормальная к площадке о), и составляющая, расположенная в плоскости о, соответственно называются нормальным усилием и перерезывающим усилием:; аналогичные составляющие результирующего момента усилий Г называются крутящим моментом и изгибающим моментом.
Обращаясь теперь к усилиям, испытываемым частью PB тела в сечении о вследствие соединения ее с частью АР, заметим, что усилие, действующее на всякий поверхностный элемент площадки о, на основании принципа равенства действия и противодействия прямо противоположно усилию, с которым действует на тот же самый поверхностный элемент часть РВ\ поэтому результирующая сила и результирующий момент (относительно точки Р) усилий, с которыми действует часть AP тела на площадь сечения о, будут равны и прямо противоположны Ф(«) и Г (s).
64. Теперь мы можем написать, исходя из основных уравнений, локальные условия (необходимые) равновесия, т. е. условия, относящиеся к отдельному элементарному слою. Рассматривая сначала неопределенные уравнения, обратимся к какому-нибудь слою, лежащему внутри тела S. В число внешних для слоя сил входят, помимо активных сил с результирующей силой Fds ж результирующим моментом (относительно Р) Mds, усилия, испытываемые § 9. равновесие тонких стержней
227
слоем на обеих площадках оно' вследствие его соединения с частями тела АР, Р'В. Соответствующими результирующими усилиями, на основании сказанного в предыдущем пункте, будут ¦—Ф (s) и Ф (s-f-ds), так что первое основное уравнение будет иметь вид
Ф (s + ds) — Ф (s) + F ds = О,
или
г+*-о. (T2)
Для того чтобы написать второе основное уравнение, заметим, что —l\(s) есть результирующий момент относительно точки P усилий, 'испытываемых площадкой о, в то время как I1 (s -)-ds) — результирующий момент относительно точки P' усилий, испытываемых площадкой о', так что результирующий момент этих усилий относительно точки P будет равен (гл. I, п. 32)
Г (s + ds) + dP X Ф (s + ds).
Приравнивая нулю результирующий момент относительно точки P всех внешних сил, действующих на слой, получим второе основное уравнение
Г (8 + ds) — Г (s) + dP X ф (S 4- ds) 4- M ds = О;
разделив обе части на ds и перейдя затем к пределу при ds О, получим
*?. + вХФ(«) + ЛГ = 0, (73)
где t = dPjds означает единичный вектор, касательный к направляющей, ориентированной в сторону возрастающих s, т. е. от А к В.
Для определения условий на концах достаточно повторить предыдущие рассуждения для двух крайних слоев: так, например, если обратимся к слою, заключенному между крайней площадкой O1, проходящей через точку А, и сечением о', проходящим через точку A+ dA, то, приравнивая нулю результирующую силу и результирующий момент относительно точки А внешних сил, действующих на слой, получим
Fa 4- F (O) ds 4- Ф (ds) = О,
Ma 4- Г (ds) 4- dA X Ф (ds) + ЛГ(O) ds = О;
переходя к пределу, при ds -*¦ 0, будем иметь
Fa + Ф (O) = 0, Ma 4- Г (0) = 0. (74')
Таким же образом для крайней площадки, проходящей через точку В, обозначая через I длину дуги AB направляющей, найдем
Fb — Ф (I) = 0, Mb- Г (I) = 0. (74") 228 гл- XiV- СТАТИКА. СТЕРЖНеВЫХ СИСТЕМ, НИТЕЙ И ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ'
65. Уравнения (72), (73), (74) [т. е. (74') и (74")] представляют собЬй обобщения уравнений (42), (43) п. 40, относящихся к гибким и нераетяжимым нитям. Они даже сводятся к ним, когда моменты Ж, Г, Ma и Mb тождественно равны нулю и, кроме того, усилие Ф действует по касательной к направляющей, так как в этом случае уравнение (72) и первые из уравнений (74') и (74") совпадают соответственно с уравнениями (42), (43), в то время как уравнение (73) и вторые из уравнений (74'), (74") будут выполняться тождественно.
