Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
= J (б5)
Первое из этих уравнений посредством одной квадратуры дает
У = const.
Теперь достаточно выполнить поступательное перемещение осей параллельно оси у (т. е. принять за новую ординату разность у — const), чтобы постоянную интегрирования свести к нулю. Таким образом, для веревочной кривой (относительно осей, которые, в силу предыдущего, теперь уже вполне определены) получается уравнение
У = + (56)
С другой стороны, припоминая, что Vl + у'2 dx = ds, и условившись измерять дуги S веревочной кривой, начиная от точки кривой с абсциссой ж = 0 в сторону возрастающих х, из второго из уравнений (55) посредством одной квадратуры получим
— (57)
Заметим, что если ввести гиперболические функции
ch s = —^-> sh л =-2-
и положить к = cp/jo, то уравнения (56), (57) примут вид
у = \ chy, (56')
S=X shy. (57')
51. Кривая (56) или (56'), найденная Гюйгенсом, называется цепной линией и обычно характеризуется названием однородная, если общее название цепных линий распространить на все кривые равновесия тяжелых нитей или цепей (также и неоднородных).
Чтобы отдать себе отчет о форме однородной цепной линии, заметим прежде всего, что производная dy'jdx = IPyjdx^, на основании равенства (53), всегда положительна, так что г/' постоянно возрастает, а так как функция г/, как это следует из первого урав- 212 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
иеиия (55), обращается в нуль при ж = О, то мы видим, что она отрицательна при х < 0 и положительна при х > 0. Отсюда и из уравнения (56) следует, что ордината у цепной линии всегда положительна (фиг. 67) и стремится к бесконечности при X -> rtr оо; она монотонно убывает, когда х изменяется от х = — оо до х = О, достигает при х = О минимума (положительного) к = <?'р (самая
нижняя точка, или вершина V цепной линии) и затем монотонно возрастает при возрастании ж от О до-j-oo. Кроме того, так как функция у, определяемая равенством (56), представляет собой четную функцию абсциссы (т. е. принимает одни и те же значения для противоположных значений х), то цепная линия симметрична относительно оси у, т. е. относительно вертикали, проходящей через самую нижнюю точку V. Отсюда и из единственности минимума следует, что если дуга цепной линии имеет концами две точки А и В, расположенные на одном и том же уровне, то вся она лежит ниже горизонтали AB и симметрична относительно вертикали, проходящей через середину, что можно было предвидеть на основании статического истолкования цепной линии.
Горизонтальная ось х, к которой отнесено уравнение (56), называется основанием цепной линии, а существенно положительная ордината к = <р\р самой нижней точки называется параметром ее.
52. Как уже указывалось несколько раз, типичная задача состоит в отыскании конфигурации равновесия однородной нити заданной длины I, когда даны обе точки прикрепления А я В (не расположенные на одной и той же вертикали).
В таком случае заранее неизвестно, каково будет положение начала О тех осей, к которым относятся уравнения (56), (57) [или (56'), (57')], относительно точек А ж В, между тем как ориентация этих осей известна; обе они лежат в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В, и ось х горизонтальна, а ось у вертикальна и направлена вверх. Любая система осей, имеющих тарие направления, может быть получена простым поступательным перемещением из той, к которой должны быть отнесены уравнения (56), (57), поэтому более общие уравнения могут быть получены из уравнений (56), (57) при помощи подстановки вместо х ж у соответственно X — х0, у — у0, где х0, у0 обозначают две постоянные величины. Поэтому все сводится к определению трех постоянных (интеграции) х0, у0 и ® (или, вместо этой последней, к = <?1р) таким образом, чтобы цепная линия проходила через точки А, В и дуга, отсекаемая этими двумя точками, имела заданную длину I. i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
213
Покажем, что эти условия однозначно определяют три постоянные.
Для этой цели возьмем опять оба уравнения (56), (57) в виде (56'), (57') и выполним в них указанную выше подстановку, после чего они примут вид
!/ — J/o = Ach^p, S = Аsha^-0, (58)
где s(x) обозначает криволинейную абсциссу на цепной линии, отсчитываемую от точки с абсциссой х0.
Мы всегда можем предположить, что А не выше В\ с другой стороны, мы можем взять начало координат в точке А, направляя ось X от А к В, так что, обозначив через а и b координаты, полученные таким образом для точки В и известные в качестве данных, будем иметь а > О, Ъ^-0 и (для того чтобы задача была возможна) Z2;>a2-J~&2.
Условие, чтобы цепная линия прошла через точку А (с координатами X==IJ = 0), поскольку гиперболический косинус есть функция четная, дает уравнение
— JZ0=Uh(59)
при этом значении постоянной у0 условие, чтобы цепная линия проходила также через точку В (с координатами а и Ь), принимает вид
Ъ = X(ch - ch -J). (60)
С другой стороны, в силу определения функции S (»;), мы должны иметь
l = s(a) — s(0),
или, на основании второго из уравнений (58) и вследствие того, что гиперболический синус есть функция нечетная,
