Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Z = А (sh^p+sh-b). (61)
После этого, если возведем в квадрат равенства (60), (61), вычтем почленно первое из второго и примем во внимание известное тождество ch2 а— sh2 0=1 и формулу сложения для гиперболического косинуса *), найдем
Z2-b2 = 2A2(ch \ — l). (62)
') Как известно, имеет место формула
ch («J + г2) = ch Z1 ch «3 + sh S1 sh % что видно из соотношения
, , . eV' + e-*'e-*> 214 гл. XIV. статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней
Положим для краткости
— = I 2Х 4
и обозначим через д2 известную постоянную, не меньшую 1 (поскольку Z2 а2 4~ W),
Р — Ъ* а3 •
Ha основании этих обозначений и тождества chz-— 1 = 2sh2^/2 равенство (62) принимает вид
-8^i = ?2- (62')
Соотношение (62') содержит только неизвестную ? или, в конечном счете, горизонтальное натяжение <р, поскольку
ар
и так как <р и, следовательно, S — существенно положительные величины вместе с q, то равенство (62') эквивалентно равенству
1Ji = Z. (63)
Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет значение S. Действительно, припоминая определение гиперболического синуса и подставляя вместо показательных функций, входящих в его выражение, их разложении в степенные ряды по степеням 5, найдем
^-!+М + Т+-- <М>
откуда следует, что функция в левой части равенства (63) при S = O принимает значение 1, а при $->оо стремится к бесконечности, постоянно возрастая. Поэтому она проходит один (и только один) раз через всякое значение q > 1. Определив таким образом значение % и, следовательно, A = а/2% из равенства (60) или (61), безразлично, будем иметь единственное значение для х0, после чего значение у0 получится прямо из равенства (59).
Для вычисления І; можно, например, прибегнуть к обращению ряда (64), что является законным для значений д, достаточно близких к 1, которые, именно, и встречаются в конкретных случаях.
если принять во внимание, что
е* = ch Zi 4- Sh Sit e~zi =X Ch Zi — sh Si (і = 1, 2).
Для Z1 = Z3 = г/2, принимая во внимание тождество Ch2 г — sh2 z = 1,
лучим
eh * — 1 = 2 Sh2
2 " i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
215
53. Остается вычислить натяжение. Для этой цели возьмем снова первое из уравнений (52), написав его в виде
сопоставляя второе из уравнений (55) и уравнение (56), получим так что будем иметь
Т = РУ, (65)
т. е. натяжение в любой точке однородной цепной линии равно весу куска нити длиной, равной расстоянию точки от основания.
В частности, равенство (65) подтверждает то известное заранее свойство веревочной кривой, что натяжение является наименьшим в самой низшей ее точке V и имеет там значение а> (постоянная касательная составляющая натяжения); если рассматривается дуга цепной линии, концы которой А и В находятся на одинаковой высоте над, основанием (и, следовательно, в силу предыдущего пункта симметричны относительно вертикали точки F), то натяжение достигает в них своего наибольшего значения, определяемого величиной ру0, где у0 есть общая им ордината. Если обозначим через х это наибольшее натяжение, через f стрелу провеса у0 — yjp дуги цепной линии (п. 49), то получим важную для приложений формулу
т = <р +pf. (66)
54. Случай больших натяжений. Заслуживает внимания случай, когда нить сильно натянута; под этим подразумевается, что постоянная <р (горизонтальная составляющая натяжения) велика по сравнению с полным весом pi нити.
Предположим, что отношение ра/у (где а обозначает пролет, т. е. горизонтальную проекцию рассматриваемой веревочной кривой) достаточно мало для того, чтобы можно было пренебречь его четвертой степенью по сравнению с единицей.
Так как а то указанное условие будет выполняться, если можно пренебречь величиной (/ //<р)2. Покажем, что, для того чтобы веревочную кривую можно было рассматривать как дугу параболы, достаточно, чтобы можно было пренебречь величиной (ра/<?)4.
Действительно, если допустить, что концы А, В лежат по разные стороны от самой нижней точки нити (что обязательно будет иметь место, если они находятся на одном и том же уровне), то абсцисса х любой точки веревочной кривой по абсолютной величине будет меньше пролета а и даже не может превзойти а/2, если А и В находятся на одной и той же горизонтали. 216 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
Поэтому pxfo по абсолютной величине остается меньше paj<s, так что вместо epx!'f можно подставить первые четыре члена разложения этой величины в ряд, пренебрегая остаточным членом, содержащим множитель {рх/<ру. Подобным же образом можно разложить и функцию e"px',f.
Поступая таким образом, мы получим разложения
-PXl9 1 ров I 1 fpx\V 1 (рх\?
е -^T + IlTi-IrlTi
и приведем уравнение (56) цепной линии к виду
y = (56')
это уравнение, очевидно, выражает параболу с вертикальной осью и с параметром p/<f, так что достаточно перенести начало координат в вершину, чтобы привести уравнение (56') к виду
у =
За исключением лишь иного значения р, мы снова находим ту же самую параболу (48), которую мы получили в п. 47 как фигуру равновесия канатов висячего моста, в предположении непрерывно распределенной нагрузки. Если, в частности, рассматривается случай, когда два конца А, В находятся на одном и том же уровне, то длина I нити приближенно выразится формулой (51), к которой и здесь можно было бы придти прямым путем, подставляя в уравнение (57) вместо показательных функций только что указанные разложения их.
