Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
5. Рассмотрим теперь произвольную систему материальных точек Pi (г = 1, 2, ..., N), подчиненных связям без трения и не зависящим от времени. Будем искать условия равновесия, т. е. условия, необходимые и достаточные, для того чтобы силы Fi, прямо приложенные к точкам Pi системы, были в состоянии удерживать систему в покое. Если для всякой точки Pi вместо связи мы введем соответствующую реакцию Ri, то отдельные точки системы можно рассматривать как свободные материальные точки, каждая из которых находится под действием силы Fi -+- Ri, так что всякий раз, когда система находится в равновесии, мы должны будем иметь (гл. VII, п. 11)
Fi = -Ri (г=1, 2, ..., N);
N
сумма работ SL =^1Fi- ЬР{ активных сил Fi на каком угод-І = 1
но виртуальном перемещении bpt системы будет определяться 248
гл. xy. принцип виртуальных работ и аналитическая статика
равенством
N
Si = — S Ri • Wi = — ЇА, »'=1
где через SA, как и в п. 2, обозначена сумма элементарных работ реакций.
Отсюда на основании принципа виртуальных работ в его общей формулировке (п. 2) заключаем, что для равновесия системы необходимо, чтобы активные силы на всех виртуальных перемещениях удовлетворяли соотношению
SX < 0. (1)
6. Предполагая опять, как в п. 5, что на систему наложены связи без трения, не зависящие от времени, мы можем утверждать, что условие (1) является также и достаточным для равновесия системы, т. е. если для всякого виртуального перемещения оправдывается соотношение (1) и система в данный момент находится в равновесии, то она будет оставаться в равновесии до тех пор, пока будет удовлетворяться это соотношение.
Достаточно показать, что если система, предполагаемая вначале покоящейся, начала бы двигаться под действием данной системы сил, то существовало бы, по крайней мере, одно ее виртуальное перемещение, на котором, вопреки соотношению (1), сумма SX элементарных работ активных сил оказалась бы положительной. Так как в силу замечания „а" п. 4 всякое действительное перемещение системы можно рассматривать как виртуальное, то достаточно также показать, что сумма элементарных работ активных сил будет положительной на действительном перемещении, которое испытывает система в первый элемент времени при переходе ее из состояния покоя в состояние движения.
Для этой цели вспомним прежде всего, что если вводятся реакции связей Ri, то точки Pi системы ведут себя так, как свободные материальные точки, на каждую из которых действует сила Fi-^-Ri. Поэтому всякая точка Pi, которая начинает действительно двигаться из состояния покоя (по предположению, существует, по меньшей мере, одна такая точка), испытывает в первый элемент времени dt перемещение ЬР0 которое, в силу закона возникающего движения (гл. VII, п. 12), будет иметь направление и сторону соответствующей силы Fi -f- Ri, так что виртуальная работа (Fi -f- Ri) • SPi, совершенная этой силой, будет существенно положительной *)•
') Полезно добавить некоторые разъяснения о бесконечно малых перемещениях SPf, которые мы рассматриваем в тексте. Воспользовавшись тем обстоятельством, что речь идет о системах со связями, не зависящими от времени, мы приняли за виртуальное перемещение ЬР( действительное элементарное перемещение, которое имеет место за элемент времени dt, еле- § 2. общие условия равновесия. общее соотношение статики
249
Складывая выражения для элементарных работ, относящиеся к точкам Pi, которые действительно движутся, и обозначая, как обычно, через SL и 8Д суммы элементарных работ активных сил и, соответственно, реакций, будем иметь
8?-f 8Л>0.
Так как на основании замечания „б" п. 4 ЬА = 0, то предыдущее неравенство принимает вид
8L > О,
что противоречит условию (1). Таким образом, доказано, что материальная система, которая находится вначале в покое и подвергается действию активных сил, удовлетворяющих на всяком виртуальном перемещении условию (1), не может придти в движение.
7. Объединяя в общей формулировке оба предложения, одно обратное другому, установленные в двух последних пунктах при добавочном предположении „б" п. 4, т. е. допуская непрерывность реакций, мы придем к следующей основной теореме.
Условие, необходимое и достаточное для равновесия, материальной системы со связями без трения (и не зависящими от времени), состоит в том, что сумма элементарных работ актив-пых сил на всяком виртуальном перемещении должна быть равна нулю или меньше нуля.
Это заключение, как мы видим, не зависит от способов осуществления связей, так как в нем идет речь о виртуальных перемещениях, которые зависят от геометрического и кинематического эффектов связей, но не от тех устройств, при помощи которых осуществляются связи. Это делает более ясными рассуждения п. 12 гл. IX.
дующий за любым начальным моментом т. е. мы положили ^Pi = = Pf (t + dt) — Pi (t) = — щ dt2 -(- бесконечно малые величины высшего порядка, где третья часть равенства может быть получена на основании рассуждений пп. 62 и 67 гл. I, если применить разложение в ряд Тэйлора к точке Pi (t -(- dt) и принять во внимание, что dP(/dt = Vi = O- Отсюда ясно, что различные ЬР{ будут иметь порядок dt2. Если dt рассматривается как главная бесконечно малая величина, то каждой величиной ЬР{ можно было бы пренебречь как бесконечно малой порядка выше первого и доказательство было бы лишь кажущимся. Но ничто не мешает принять саму величину dfi за главную бесконечно малую, или, сохраняя dt в качестве главной бесконечно малой, за виртуальные перемещения ЪР{ принять не самые разности Pi (t + dt) — Pi (t), но их отношения к dt. В обоих случаях 8Pi, не равные нулю, будут бесконечно малыми одного и того же наименьшего порядка (рассуждение ведется здесь в предположении, что желательно исключить случай, когда не все Oi являются нулями). 250
