Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
F1SZ1-^-F2SZ2 = O, (5)
которое можно представить в конечной форме, если принять во внимание, что в пределе отношение UJU1 зависит только от природы системы и от рассматриваемой конфигурации равновесия.
Если заметим, что SZ1 и SZ2, взятые по абсолютной величине, измеряют перемещения точек приложения сил F1 и Fi в направлении соответствующих линий действия, то из равенства (5) (или, лучше, из пропорции
F1 = F2 = ISZ2IrISZ1I,
которая является его непосредственным следствием) получим так называемое золотое правило: „То, что выигрывается в силе, теряется в пути".
Приложим предыдущие общие рассуждения к изучению винтового пресса, весов Квинтенца (или десятичных), и бифилярного маятника, отсылая за сведениями о других простых машинах и о других типах весов к более полным сочинениям
20. Винтовой пресс. Винт, вставленный в соответствующую гайку, представляет собой систему с полными связями. Рассмотрим любое бесконечно малое его перемещение, которое является вместе с тем и виртуальным перемещением, так как связи в этом случае не зависят от времени. Это перемещение, очевидно, может рассматриваться как результирующее двух других: элементарного поступательного перемещения в направлении оси (винта) .и элементарного вращательного перемещения вокруг оси.
1J См., например, П. А п п е л л ь, Руководство теоретической (рациональной) механики, т. I, гл. VIII, п. 169, 1911 и руководство Е. Bagnoli, Teoria е costruzione degli strumenti metrici е per pesare, изд. 2, Милан, 1925. 260 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
Обозначив через Ss0 величину первого, через 8» величину второго и через р шаг винта, легко увидим, что
Sb): 8 s0 = :р.
Действительно, когда винт делает полный оборот, он продвигается на один шаг р в направлении оси; с другой стороны, связь заставляет тело вращаться и двигаться поступательно вдоль оси при постоянном отношении между величинами поворота и поступательного перемещения (идет ли речь о бесконечно малом перемещении, или о полном повороте).
Отсюда следует уже написанная пропорция, или соотношение
Sco = ^S5o. (6)
21. Предположим, далее, что винт находится в равновесии, нажимая посредством пластинки те (фиг. 71) на часть плоской поверхности а, нормальной к оси, как это схематически происходит в прессе, и пусть винт находится под действием силы F, приложенной к концу рукоятки и нормальной к оси. Для того чтобы иметь дело с самым обыкновенным случаем, предположим еще, что сила F действует нормально к плоскости, определяемой рукояткой и осью, и что собственным весом системы можно пренебречь (по сравнению с величиной силы F). Таким образом, мы будем иметь следующие активные силы: 1) сила F; 2) сопротивление, состоящее из совокупности давлений (реакций), которые испытывает Фиг. 71. пластинка и винта со стороны сжатой по-
верхности а. Результирующая всех этих различных реактивных давлений естественно будет равна и противоположна полному давлению, действующему на о: обозначим ее абсолютное значение через Ф.
Предположим, что мы сообщили системе виртуальное перемещение, вращая рукоятку в одном из двух возможных направлений, например в том, в котором ее стремится вращать сила F. Это перемещение можно разбить на два: поступательное и вращательное. Оценим соответствующие части виртуальной работы различных сил. При поступательном перемещении винта работа силы F, по предположению, перпендикулярной к оси, равна нулю; давления на пластинку (которые стремятся заставить винт вращаться в противоположную сторону) все совершают отрицательную работу, в сумме равную —Ф Ss0. § 5. статика системы c полными связями. простые машины
261
При вращательном перемещении (вокруг оси винта) работа давлений, очевидно, равна нулю; что же касается силы F, то, ввиду того что перемещение ее точки приложения идет в направлении силы, работа будет положительной и будет измеряться произведением F на величину перемещения. Таким образом, будем иметь Fbbta, где через Ъ обозначена длина рукоятки. Подставляя вместо элементарного вращения Sio его величину (6), мы получим для полной виртуальной работы выражение
Fb ~ Ss0— ФЦ,, так что условие равновесия будет выражено равенством
Ф = ^Fb. (7)
Как мы видим, оно не зависит от размеров винта (радиуса цилиндра, на который нанесена винтовая нарезка), а зависит от шага р. Для того чтобы произвести большие давления умеренными силами, нужно, очевидно, уменьшить насколько возможно р и увеличить длину рукоятки.
22. Если помимо F на головку винта действует другая аналогичная сила Fr (также нормальная к плоскости, проходящей через ось винта и через соответствующую точку приложения и стремящаяся вращать винт в ту же сторону, что и сила F) и Ъ' есть соответствующая рукоятка, то вместо (7) мы тотчас же находим уравнение
Ф == ^ [Fb-^rFb']
Количество, стоящее в скобках, можно истолковывать как результирующий момент сил F и F' относительно оси или как результирующий момент всех активных сил, так как момент давлений равен нулю; давление Ф, стоящее в левой части, можно рассматривать как результирующую в направлении оси всех активных сил (так как силы F и F ничего не прибавляют к ней).
