Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Величины Qh называют также обобщенными силами. {Прим. ред.) § в. СТАТИКА. ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
267
В частности, система сил называется чисто позиционной, если силы Fi зависят только от конфигурации системы, т. е. только от величин qh. В этом случае, как это следует из равенств (11), также и лагранжевы составляющие Qh будут зависеть только от qh, условия равновесия (12) дают тогда п уравнений между п координатами положения qh, определяющими конфигурации равновесия системы, аналогично тому, как это имеет место в случае одной свободной точки, находящейся под действием позиционной силы, когда уравнения равновесия получают, приравнивая нулю проекции активной силы на декартовы оси координат.
28. Следуя дальнейшим аналогиям между силами Xi, Yi, Zi и Qh, укажем, что система сил Fi (i = 1, 2, ..., N), приложенных к системе N материальных точек, называется консервативной, если сумма работ сил Fi на любом перемещении APi системы тождественна с полным дифференциалом какой-нибудь функции U от 3N декартовых координат xit у{, Zi точек системы, т. е. когда имеем тождественно
N
J Fi • dP{ = dU. (13)
1=1
Так как это уравнение можно написать явно в виде
N N
2 (Xi dx{ 4- Yi diji 4- Zi dz і) = 2 (If - dxi + Щ- tyi 4- -щ dz-),
1=1 1=1 1
то заключаем, приравнивая коэффициенты при дифференциалах (произвольных и независимых) dxu dyit dzb что оно эквивалентно SN тождествам
Х<=="5' (г = 1, 2, N).
Функция U, определенная, по крайней мере, с точностью до аддитивной произвольной постоянной, называется, как и в случае только одной консервативной силы, потенциалом системы сил.
Далее, применяя тождество (13) к случаю виртуального перемещения, будем иметь
п
JlFi-ZPi = W
1=1
или, принимая во внимание равенства (9) и (11),
JQnhn= щ ти* 268
ГЛ. XV. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА.
предполагая потенциал U выраженным посредством равенств (8) в функции от лагранжевых координат qh и отождествляя коэффициенты при 8qh, получаем
П _ ди П — ди п _ дП
Поэтому мы можем сказать также, что и лагранжевы составляющие являются производными от потенциала.
Следует заметить, что предыдущее замечание необратимо, так как может случиться, что виртуальная работа на любом перемещении, совместимом со связями данной голономной системы,
її
S Qn 8ЗЙ A=1
тождественно равна полному дифференциалу, а виртуальная работа на совершенно произвольном перемещении
JiFi^Pi І = 1
может и не быть такою.
Всякий раз, как лагранжевы составляющие Qh имеют потенциал, из условий равновесия (12) и из тождеств (14) мы находим, что всякому максимуму или минимуму потенциала соответствует конфигурация равновесия голономной системы.
Если, далее, мы распространим на равновесие голономных систем качественный критерий устойчивости, указанный в п. 18 гл. IX, то увидим, что также и для этих систем конфигурациями устойчивого равновесия являются те, которым соответствует максимальное значение потенциала. Мы вернемся к этому заключению в динамике, где дадим ему более строгое обоснование.
29. В п. 25 мы определили условия равновесия голономной системы, отнесенной к независимым лагранжевым координатам. Можно спросить, как выражаются эти условия в том случае, когда прибегают, как это в некоторых случаях оказывается удобным, к избыточным координатам. Ответ на этот вопрос будет вытекать из рассуждений, которые мы изложим в следующем параграфе.
§ 7. Общая (аналитическая) статика.
Метод множителей Лагранзва. Вычисление реакций
30. Для того чтобы иметь наиболее общие условия, рассмотрим материальную систему S из N точек Р4(г = 1, 2, ..., N), на которую наложены двусторонние и односторонние связи, как геометрические, так и кинематические. Мы знаем (гл. VI, п. 24), что если § 7. ОБЩАЯ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
269
система 8 отнесена к системе осей Oxyz, то виртуальные нереме-щейия SPi системы для какой угодно конфигурации и момента времени должны удовлетворять следующим г уравнениям, соответствующим двусторонним связям, и S неравенствам (включающим и равенства), соответствующим односторонним связям:
N
Jaki-ZPi = O (fc=i, 2, ..., г), (15)
N
JlXji-ZPi <0 (j=l, 2, ..., s), (16)
»=i
где аы, Xji обозначают (r-\-s)N определенных (чисто позиционных) векторов. Левые части этих (г -)- s) соотношений после выполнения вычислений будут линейными однородными функциями от проекций Sxi, Syi, Izi перемещений SPi всех N точек системы. Обозначим для простоты левые части соотношений (15), (16) соответственно через Bk, U.; обозначая через а'к{, а"ы, а'к{ и а^, ajf, соответственно проекции векторов аы и Xji на оси Oxyz, получим
N
Bk = 2 (а'ы Zxi + а"ы Zy. + а"ы Z Zi),
tN (17)
Uj=JiajiZxi + *;^ + *;^).
Соотношения (15), (16) можно поэтому написать в более сжатой форме:
Bk = О (fc=l, 2,...,г), (15')
Uj^O (І= l,2,...,s). (16')
Если система 8 подвергается действию системы сил, в которой Fi является равнодействующей сил, прямо приложенных к точке Pi, то условия равновесия, благодаря тому, что наличие односторонних связей (16) означает для системы 8 возможность необратимых виртуальных перемещений, будут даны общим соотношением статики, а именно: для равновесия системы S необходимо и достаточно, чтобы для всех перемещений, определяемых соотношениями (15), (16), силы Fi удовлетворяли условию
