Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
ч (*>,...0 = 1,2 ,...,її)
(бесконечно малые) перемещения, получающиеся для точек P1, P2, ..., Pn из и частных решений, мы можем представить общее решение уравнений (20), т. е. общее виртуальное обратимое перемещение системы 8 в виде
11
SFi = Sv^ 2,...,N), (21)
где Vp обозначают п произвольных коэффициентов.
Самая общая система сил Fi, способная удержать систему S в покое, должна обладать тем свойством, что полная работа ее на каждом из п обратимых перемещений xf> должна быть равна нулю, так что должны тождественно удовлетворяться W уравнений
N
JFi-XiP = O (J)=I, 2, ...,п). (22)
<=1
Эти уравнения составляют, конечно, только часть условий, определяющих все возможные уравновешивающиеся системы сил (при этом все еще не принимаются в расчет необратимые виртуальные перемещения), но они достаточны, чтобы убедиться, что всякая такая система сил входит в выражения (19) из п. 31.
Действительно, уравнения (22), образующие систему из п линейных однородных уравнений относительно неизвестных проекций Xi, Yi, Zi сил Fi, являются, конечно, линейно независимыми, так как матрица их коэффициентов из п строк и 3N столбцов есть не что иное, как матрица п линейно независимых решений уравнений (20). Поэтому уравнения (22) имеют в свою очередь 3N—n = r~\-s линейно независимых решений и самое общее решение линейно зависит от r-j-s существенных произвольных по- § 7. общая (аналитическая) статика
273
стоянных, как они появляются в выражении
Г S
Fi = — 2 h^M — 2ft*i* (і = 1,2, . .., и), (19)
і=1 j=i
найденном прямым путем в п. 31.
Отсюда мы заключаем, что выражения (19), как это и было высказано выше, дают (при соблюдении ограничений ft<!0, которые отражают еще не рассмотренные условия для сил JPi) наиболее общую систему сил, способную удержать систему S в покое.
Это заключение, как уже говорилось в п. 30, кладется в основу определения, является ли заданная система сил уравновешивающейся на нашей материальной системе; достаточно будет проверить, войдет ли она в уравнения (19) при надлежащем выборе множителей Aft и ft (при существенных условиях ft<!0). Из замечания в п. 32 следует, что в утвердительном случае эти множители будут определены однозначно. Равенства (19) дадут в конечном счете параметрическое решение соотношения (18) в согласии с соотношениями (15), (16), и если примем во внимание только что сделанное замечание, то можно будет также сказать, что они составляют условия равновесия системы 8 в параметрической форме.
34. Применим эти условия к некоторым простым частным случаям. Если речь идет только об одной точке Р, вынужденной двигаться по поверхности (без трения)
f(x, у, в I 0 = 0,
то виртуальные перемещения удовлетворяют единственному условию
так что имеется только одно уравнение вида (15') (п. 30) и, следо-
Qf
вательно, только один вектор а, определяемый проекциями
щ, Поэтому параметрическое условие равновесия, если F есть
равнодействующая активных сил, будет выражено в векторной форме равенством
F=-Ia
или в проекциях на декартовы оси координат равенствами
= Г+А|=О, Z+x%=0.
Если же, наоборот, точка P подчинена только односторонней связи
9(ж, у, *|/)<0, 274 ГЛ. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
то мы должны иметь при [i<!0.
Наконец, в случае точки, вынужденной оставаться на кривой без трения
fi(x, IJ, я I Q = O, /"а (ж, у, «10 = 0,
мы будем иметь два уравнения типа (15'), следовательно, два вектора а и два множителя А. Условия равновесия будут иметь вид
35. Возвратимся временно к ограничительным предположениям, допущенным в п. 32 о числе и независимости уравнении
Bk = 0, Uj = О (к = 1, 2, ...,г; j = 1, 2, ..., s). (20)
Можно заранее считать, что уравнения Bk = 0, соответствующие двусторонним связям, независимы и что их меньше 3N; действительно, мы можем не принимать во внимание те уравнения Bk = О, которые случайно окажутся следствиями остальных, а число независимых между собой уравнений должно быть меньше ЗАГ, если мы хотим, чтобы система допускала, по крайней мере, одно виртуаль-пое перемещение.
Однако этого нельзя сказать по отношению к уравнениям Uj = О, которые выралсают односторонние связи. Чтобы убедиться в этом, обратимся к элементарному примеру. Пусть мы имеем только одну материальную точку Р, вынужденную не выходить из пределов выпуклого многогранного угла с s гранями и с вершиной в точке О, и хотим рассмотреть условия равновесия в положении О, которое, очевидно, является предельным для всех связей.
Величины Uj в таком случае являются линейными однородными формами от проекций Ьх, by, Ъг любого виртуального перемещения точки Р. Если мы предположим, что речь идет о действительном многогранном угле с числом граней, большим трех, то три (и только три) из форм Uj будут независимыми, в то время как ни одна из связей Uj <0 не будет лишней.
Для изучения независимости между собой односторонних связей потребовалось бы более глубокое исследование, которым мы не будем заниматься.
