Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
36. Реакции. Как уже отмечалось с самого начала (п. 1) и было показано непосредственно в §§ 2—6 (в частности, в случае § 7. ОБЩАЯ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
275
систем с полными связями), одно из главных преимуществ применения принципа виртуальных работ в статике заключается в том обстоятельстве, что он позволяет систематически исключать реакции и рассматривать одни только активные силы. Однако бывают такие случаи, в которых главный интерес задачи сосредоточен на определении этих реакций, или по крайней мере части их.
Мы покажем здесь, что метод множителей исчерпывающим образом отвечает этим требованиям.
Обратимся к случаю, вполне разобранному и объясненному в цп. 32—33, в котором для всякой системы сил, способной удерживать систему в покое, множители Ik И ft определяются однозначно.
Мы знаем, что в этом предположении представление активных СИЛ в форме
Г S
Vt = — 2 Чаы — 2 V-Pji (* = 1, 2, ..., N) (19)
ft=i j=і
эквивалентно общему уравнению статики.
Если мы введем все реакции Bit появляющиеся в отдельных точках совокупности r-|-s связей, которым подчинена система, то при равновесии для каждой точки P1 должно иметь место равенство
Bi = -JFt (i = l, 2, ..., N).
Поэтому, принимая во внимание уравнения (19), мы получим, для реакций выражения
Г 8
¦В* = 2 к<*и + 2 ft% («= 1, 2, . .., N), (23)
ft=i j=i
представляющие собой разложение каждой отдельной реакции в сумму r-J-s составляющих.
Калсдую из этих составляющих можно рассматривать как дей-стиие, оказываемое на соответствующую точку одной из r-j-s связей
Bk = О (7с = 1, 2, ..., г), (15') UjО (7 = 1, 2, ..., 8). (160
Чтобы убедиться в этом, обратим внимание на одну из связей, например на двустороннюю связь B1 = О, и заметим, что условия равновесия (19) нашей системы можно написать также в виде
г s
Fi + X1Cfb- = — 2 Kaki — 2ft«ji (І= 1, 2, ..., iV).
*=2 J=I
В этой форме их можно истолковать как условия равновесия новой системы S1, подчиненной всем связям системы S, за исключением связи B1 = 0, и находящейся под действием активных сил 276 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
F1-J-X1Uu. Введенные таким образом N дополнительных сил A1Wli эквивалентны действиям, оказываемым на точки Pi исключенной связью B1 = О, и потому представляют собой реакции, происходящие от этой связи.
Величина этой частичной реакции в любой точке Pi определяется выражением I X1 \ ан. Если, в частности, исключенная связь является позиционной и голономной
f{xv IJv S1; ...; XN, yN, sN\t) = 0, (24)
так что уравнение B1 = О имеет вид
І (?*..+?•*+-&«..)-о.
то составляющие Xfl1u, X1Ct"., X1Cili реакции этой связи в точке Р. определяются выражениями
(i = 1, 2, ..., N);
поэтому величина реакции связи равна
а направление совпадает с направлением нормали к поверхности, которая будет представлена уравнением (24), если мы положим в нем t равным значению времени в рассматриваемый момент и заставим изменяться только координаты хь у{, Si, а координатам остальных точек системы припишем те значения, которые они имеют в рассматриваемом положении равновесия.
37. Способом, аналогичным тому, который был ррименен выше для двусторонней связи, мы можем выделить реакцию в любой точке Pi, происходящую от односторонней связи, например от связи Uj < О, и найдем, что эта реакция равна ^1Xli. Если условие Ui^Q происходит от позиционной связи
cP 1> V1) 3V •••> xNt УN> sN
IO <О, (25)
то ограничение для виртуальных перемещений
2(?*.+?*.+-?^
»¦=1
должно выполняться только для предельной конфигурации, т. е. для конфигурации, в которой соотношение (25) удовлетворяется, как равенство. § 7. общая (аналитическая) статика
277
При этом предположении, реакция, происходящая от связи (25), будет иметь в точке Pi проекции
d<f ду d<f
^1?"' ^1"?'
так что, аналогично случаю двусторонней связи, реакция будет направлена но нормали к поверхности, представленной уравнением
<р(а\, JZ1, z1; ...; xN, ijn, zn ' t) = О,
куда, как и в уравнение (24), вместо t подставляется значение времени в рассматриваемы® момент и вместо координат различных точек, за исключением точки Pi, для которой они остаются переменными, значения координат этих точек в конфигурации равновесия.
Так как при равновесии Jx1 О, то реакция будет направлена в ту сторону от поверхности 9 = 0, в которой функция от переменных Xi, Ijl, Zi становится отрицательной, т. е. в сторону, допускаемую связью.
Так, например, если две точки P1, P2 соединены твердым стержнем или, в более общем случае, гибкой н нерастяжимой нитью длины I, то связь выразится соотношением
(X1 - X2Y + (JJ1 - IJ2? + (Z1 - Z2Y < 1\
где в случае стержня будет иметь место только знак равенства. В конфигурации равновесия (при натянутой нити во втором случае, если мы хотим, чтобы в точках P1, P2 возникли реакции) реакция в каждой из двух точек будет направлена по прямой P1P2 (нормальной к сфере с центром в другой точке и с радиусом I), причем в случае нити реакция всегда направлена в сторону другой точки.
