Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Обознадая, как обычно, через JS и Ж результирующую силу И результирующий момент (относительно какой-нибудь точки на оси) всех активных сил и через г направление оси (в одну из двух сторон, выбранную как угодно), мы можем написать найденное условие равновесия в виде
Было бы очень просто убедиться (припоминая общее выражение ЬЬ, приведенное в п. 12, и применяя его к винтовому 262 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
fP
r4S-.
перемещению, о котором идет речь), что условие равновесия сохраняет этот вид в общем случае, т. е. каково бы ни было число активных сил, приложенных к винту, их величина и направление.
23. Весы Квинтенца. Кинематическую структуру таких весов можно схематически описать следующим образом: коромысло AB (фиг. 72), которое может вращаться вокруг одной своей точки О (лежащей между А и В), связано в конце В и в некоторой точке С, лежащей между О я В, посредством двух вертикальных стержней с двумя платформами DE, FG, первая из которых опирается
на неподвижное ребро Е, CB а вторая — на ребро HG,
прикрепленное к нижней платформе. Обе платформы будут горизонтальными, если горизонтально коро-
~ ' ^jy--1C мысло.
" E Пренебрегая весами ко-'д ромысла, соединяющих стер-
жней и платформ, пред-Фиг. 72. ставим себе, что на верхнюю
платформу FG положено тело веса В (сопротивление), и предположим, что нам надо определить, какой вес P (силу) необходимо приложить в А, чтобы удержать плечо в горизонтальном положении. Мы имеем здесь, очевидно, систему с полными связями, и ее виртуальное перемещение (для конфигурации, в которой коромысло горизонтально) однозначно определяется углом 86, описываемым коромыслом вокруг точки О. Перемещение точки А приложения веса _Р (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равно 0^-80. Перемещение точки приложения веса JS (центра тяжести тела, которое нужно взвесить), тоже вертикальное, но направленное в противоположную сторону, вообще говоря, зависит qt положения, которое тело занимает на платформе FG; но легко видеть, что, подбирая надлежащим образом положение H ребра HG на нижней платформе DE, можно сделать так, чтобы это перемещение центра тяжести тела не зависело от его положения на FG. Очевидно, что, для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы при виртуальном перемещении платформа FG сохраняла горизонтальное положение, или, другими словами, чтобы точки FnG испытывали равные перемещения. Далее, в то время как точка F испытывает то же самое перемещение, что и точка Ц, т. е. OG ¦ 89 — перемещение точки G равно перемещению точки Н, а это последнее, поскольку точка E неподвижна, получится (в силу пропорциональности между дугами, соответствующими одному и тому же углу, и радиусами), если мы умножим на HEIDE перемещение точки D или перемо- § 5. статика. системы c полными связями. простые машины
263
щение точки В, которое определяется произведением OB • 89. В результате верхняя платформа будет оставаться горизонтальной при условии, что будет выполняться равенство
¦ OB ¦ 89 = ОС • 86,
BE
или
НЕ
OO
BE OB '
т. е., что две прямые OE и CH будут пересекаться в точке, лежащей на прямой BD.
При этом предположении для существования равновесия необходимо и достаточно, на основании общего уравнения статики, чтобы было
P OA -89 — В -ОС -86 = 0
или
Р:В = ОС:ОА.
Таким образом, мы имеем то же самое условие равновесия, которое имело бы место, если бы вес В был приложен прямо в точке С.
Заметим, что способ, аналогичный тому, который мы здесь применили, позволяет также и для обыкновенных весов Роберваля 1J показать независимость условия равновесия от положения, занимаемого грузами на чашках.
24. Бифилярный маятник. Представим себе тяжелый твердый однородный стержень AA' (фиг. 73) длиной 2а, удерживаемый в горизонтальном положении двумя гибкими и нерастяжимыми нитями длиной I, прикрепленными соответственно к концам А, А' стержня и к двум неподвижным точкам О, О', расстояние OO' между которыми равно длине 2а стержня. Система располагается в вертикальной плоскости, проходящей через точки О, О', принимая конфигурацию четырехугольника АА'ОО'.
Если к стержню AA' в горизонтальной плоскости, проходящей через AA', прикладывается пара с заданным моментом Г, то стержень, оставаясь горизонтальным, повернется на некоторый угол <р (в направлении действующей пары) вокруг вертикали, проходящей через его середину, в то время как та точка, которая сначала
1J Ж. П. де Роберваль родился в 1602 г. близ Бове, департамент Уазы, умер в 1675 г. в Париже, был профессором в College reale de France. Написал трактат о неделимых, с геометрическими приложениями к построению касательной. Занимался алгеброй и механикой и известен благодаря изобретению весов, носящих его имя (1670 г.). 264
гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
была в М, займет положение точки N этой вертикали, поднявшись на некоторую высоту MN = Ji над своим первоначальным положением M (так как нити OA и О'А' нерастяжимы).
