Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
38. Выяснив, что векторы XkUkh PjXji можно рассматривать как реакции, действующие на точку Pi со стороны отдельных связей Bk = O и Uj 0, мы можем теперь дать наглядное истолкование условиям равновесия в форме (19). Написанные в виде
г а
Fi + 2 + S= 0 = 2, ..., А'),
Tc = 1 J = I
они выражают, что для равновесия системи с какими угодно связями (лишь бы, конечно, связи были без трения) необходимо и достаточно, чтобы прямо приложенные силы в любой точке уравновешивались соответствующими реакциями связей.
В этой формулировке можно видеть обобщение того критерия, которым мы неоднократно пользовались в предыдущих главах, изучая различные частные случаи систем. Там мы определяли, основываясь на интуиции, характер реакций, которые были в состоянии 278 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
развить связи. Здесь же поведение реакций характеризуется с одной общей топки зрения, на основании принципа виртуальных работ, который сам был установлен как раз путем синтеза отдельных частных случаев, изученных непосредственно по интуиции.
3D. Прежде чем идти далее, вернемся временно к общему выражению (23) реакций, различные члены которого представляют собой, как мы видели в предыдущих пунктах, реакции в любой точке Pi системы, происходящие от отдельных -двусторонних и односторонних связей, выражаемых соотношениями вида (15'), (16'). Следует обратить внимание на то, что особенности осуществления связей с аналитической точки зрения отражаются в той частной форме, которая была выбрана для уравнений (15'), (16') из бесконечного множества эквивалентных ей форм, и что всякому такому выбору соответствует особое определение отдельных векторов аы, ctj{. Мы видим, таким образом, что реакции, которые, согласно формуле (23), можно рассматривать как происходящие от отдельных связей, зависят от осуществления связей, в отличие от условий равновесия, которые, наоборот, не зависят от них (п. 7).
Очень простую иллюстрацию этого замечания дает эллипсограф, описанный в гл. V п. 15. Если связь, действующая, по предположению, без трения и вынуждающая точку P описывать эллипс, является именно топ, которая описана там, то возбуждаются реакции jRa, -Bb, приложенные к концам стержня и нормальные соответственно к двум направляющим. Но если мы осуществляем ту же самую связь для стержня AB, вынуждая две другие его точки Р, Q описывать без трения соответствующие эллипсы (удалив обе направляющие), то вместо реакций (А, 11а) и (В, JR,в) возбуждаются две реакции (Р, JRр) и (Q, 1Iq), нормальные к двум эллипсам. Этот пример показывает, что местное распределение реакций действительно зависит от способа, посредством которого осуществляются связи; это означает, если речь идет о неизменяемой системе, что два приложенных вектора (Р, JRp), (Q, JRq) составляют систему, эквивалентную системе (А, 11а), (В, JRb).
4:0. Действительное вычисление реакций, происходящих от отдельных связей. Так как векторы aki, Xji известны по заданию, то вычисление реакций Хкаы или PjCtji, которые в различных точках Pi происходят от определенной связи (Bk-O или соответственно TJj 0), сводится к определению соответствующих множителей Xk или fjy.
Способ, быстро ведущий к такой цели, вытекает из следующих сообралгений. Определим, например, реакцию XlUli, происходящую от двусторонней связи B1 = 0. Так как, по предположению, уравнения
Bk = 0, Uj = 0 (? = !, 2, ..., r;j=l, 2, ..., *) (20) s 7. общ vh (аналитическая) статика
279
совместны н независимы, то такими же будут и уравнения
B1 = S, (26)
Bk = О, Uj = О (fc = 2, 3, ..., г- j=l, 2, ...,в), (27)
где г обозначает произвольную, бесконечно малую скалярную (но не равную нулю) величину. Поэтому мы можем указать бесконечно малое перемещение 9Рг, удовлетворяющее этим уравнениям и представляющее собой, в силу самого своего определения, перемещение системы S, совместное со всеми связями, кроме связи B1 = 0, реакцию которой требуется вычислить.
Умножая обе части равенства (19) на BPi и суммируя по индексу г от 1 до N, мы получим, на основании уравнений (26), (27), уравнение
' ' N
^Fi -SPi = I1s, (28)
i=i
которое непосредственно дает значение неизвестного множителя X1 її, следовательно, значение каждой из реакций X1Wjb которые происходят от связи B1 = 0.
Легко убедиться, что реакции определяются таким способом однозначно, т. е. они не зависят от выбора частного перемещения дР{ из числа тех, которые определяются уравнениями (26), (27). В самом деле, наиболее общее перемещение DPi, удовлетворяющее этим уравнениям, получится, в силу известных свойств систем линейных уравнений, если мы присоединим к частному решению SPi уравнений (26), (27) общее решение соответствующей однородной системы (20), т. е. самое общее обратимое виртуальное перемещение SPi нашей системы. Вследствие этого
DPi = BPi^bPi
и, на основании уравнений (20),
N N
JiFi- DPi=JlFi- Ы\.
»=1 1=1
Аналогично можно поступить при определении каждого другого множителя, с единственной оговоркой, что если речь идет об одном из множителей ^j (соответствующем односторонней связи), то, вследствие того, что условия равновесия будут удовлетворены, он должен получиться отрицательным (или равным нулю).
