Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Определим условие, при котором сохраняется состояние равновесия стержня, предполагая, что весом нитей можно пренебречь. Для этого заметим прежде всего, что, в силу симметрии системы и действующих сил относительно вертикали точки M центр тяжести стержня, как мы только что отметили, останется на этой вертикали, а сам стержень будет находиться в горизонтальном положении; поэтому эту систему можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. С этой точки зрения виртуальное перемещение (для указанной конфигурации равновесия) будет определяться вариацией bh высоты Ji точки N относительно точки M и вариацией Scp угла между BB' и AA'. Для определения соотношения между 8?, 8<р возьмем начало координат в точке М, ось z направим по вертикали MN, ось х— по прямой MA, ось у— по перпендикуляру к плоскости XZ, направленному таким образом, чтобы направление вращения от X к у совпадало с направлением действия приложенной пары. Тогда, выразив, что расстояние между двумя точками О, В с, координатами соответственно а, О, I и a cos <р, a sin <р, Ji остается равным I, мы найдем
Ct2 {(1-COS <р)2 + Sin2 <р} + (h — If Z= P
или
4а2 sin2| +A2 — 2lh = 0.
Отсюда, продифференцировав, получим
a2 sin <р 8<р + (? — I) bh = О,
т. е.
8 Jb=^JkJLfcp.
Работа пары (которую мы представим себе состоящей из двух противоположных сил величиной Г/2й, приложенных соответственно в точках А, А', горизонтальных и перпендикулярных к стержню) равна
2^а8? = Г8<р.
Общее уравнение статики дает условие равновесия в виде Г 8<р —р Ш = О, откуда, на основании значения, полученного для bh,
Ji_ O2P sin ср
1 ~~ I — ъ • § 6. статика. голономных систем
265
§ 6. Статика голояомных систем с каким угодно числом степеней свободы. Условия равновесия в лагранжевых
координатах
25. Мы будем рассматривать в этом параграфе голономную систему, состоящую из N точек Pi (г = 1, 2, ..., N), имеющую п степеней свободы. Относя ее к любой системе лагранлсевых (независимых) координат qh (h=-l, 2, ..., п), будем иметь
Pi = РЛЧи gj Q (* = 1, 2, ..., N). (8)
Так как всякое виртуальное перемещение
п
SfN о»
H=I
(где 8qh — произвольные и независимые вариации) будет здесь обратимым (гл. VI, п. 14), то необходимые и достаточные условия, для того чтобы система под действием данных сил Fi (i = 1, 2,..., N) была в равновесии, можно получить из общего уравнения статики
N
hL= J Fi-ZPi = 0, (10)
1=1
которое, если примем во внимание уравнения (9), принимает вид
N п
22*.-??-?
<=1 a=i h
п
JiQkhh=о, (io')
A=I
N
Qn=^lFi-Ifl (h = l, 2, ..., п). (И) <=і h
Уравнение (10') должно иметь место при любом виртуальном перемещении системы, т. е. при всяком возможном выборе произвольных вариаций Sgft (в частности, когда все они принимаются равными нулю, за исключением одной); отсюда следует, что при равновесии должны одновременно удовлетворяться її уравнений
Qi = O, Q2 = O,..., Qra = O. (12)
Если, наоборот, эти уравнения удовлетворяются, то будет удовлетворяться также и уравнение (10'), а следовательно, и уравнение (10) при каком угодно выборе 8qh, т. е. при всяком
или
если положим 266
ГЛ. XV. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА.
виртуальном перемещении системы; таким образом, равновесие будет обеспечено.
Следовательно, необходимые и достаточные условия для равновесия рассматриваемой голономной системы выражаются п уравнениями (12).
26. Рассмотрим п скалярных величин Qh, определяемых равенствами (11). Из этих равенств следует прежде всего, что величины Qh будут равны нулю всякий раз, когда обращаются в нуль прямо приложенные силы Fi; далее, когда голономная система сводится к N свободным точкам Pi, так что за независимые координаты можно принять декартовы координаты х{, у{, Zi этих точек, то Qh принимают вид
Ъ'Ж- 2^fS *<'1Г
г "г і
т. е. сводятся к проекциям Xi, Yi, Zi активных сил Fi на оси декартовых координат.
В виду этой аналогии (а также благодаря другим аналогиям между Xi, Yi, Zi и Qh, которые мы сейчас укажем) величины Qh обыкновенно называют составляющими данной системы сил по лагранжевым координатам qh
27. Для того чтобы указать другие замечательные аналогии между лагранжевыми составляющими Qh системы сил и проекциями Xi, Yi, Zi сил на декартовы оси координат, выясним сначала, в каком смысле должны считаться заданными, с математической точки зрения, активные силы Fi, действующие на систему.
В согласии с тем, что было сказано в случае одной свободной материальной точки (гл. VII, § 8), система сил Fi (где Fi есть результирующая сил, действующих на точку Pi системы) в любой момент определяется в функции от конфигурации -системы и от скоростей отдельных ее точек. Если мы примем во внимание равенства (8) и выражения, которые получаются из них для скоростей различных точек Pi
^=2?? + ?- 2,..., N),
ft=і h
то увидим, что система сил должна считаться известной, когда каждый из векторов Fi задан в функции от обобщенных координат qh, от обобщенных скоростей qh [которые называются скоростями системы по лагранжевым координатам qh (гл. VI, п. IO)] и, возможно, от времени.
