Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
[^-3(m+Ш) —дддду] ,и=—&~х (ddV),и (OdV)(25.20а) d(m+iAf)=3(m+iAI)I,u; (25.206)
^a-3M=Im ddddV. (25.20в)
В специальной калибровке 9>=\, V=u z$dV=—L эти уравнения принимают вид, полученный Керром [Kerr (1963)], т. е.
[ (m+Ш) +дддЕ] (dL)(?)(25.21 а)
d(m+\M)=Z(m+\M)L,u\ (25.216)
M=ImdddL. (25.21в)
Уравнения поля приведены в трех различных формах: 1) (25.21); 2) (25.20); 3) (25.13е), (25.15) и (25.16), которыми мы будем пользоваться как альтернативными. Как обычно, в уравнения поля включено определение M через L и 9 согласно (25.1 Зе), или (25.20в), или (25.21в). Это делает структуру уравнений более прозрачной, при этом при интегрировании иногда пытаются решить сначала два других уравнения, а определение M наложить в качестве добавочного ограничения. Если решение т, L, 9 полевых уравнений известно, то метрику можно определить из (25.13).
Если L = O, то М, E и W также пропадают (если преобразовать г° к нулю); в силу уравнения (25.206) и уравнения, ему комплексно-сопряженного, т является функцией только и, а уравнение
(25.16) превращается в полевое уравнение (24.7) для вакуумной метрики Робинсона — Траутмана.
Для дальнейшего использования приведем ненулевые компоненты тензора Вейля. Они имеют следующий вид [Trim, Wain-wright (1974); Weir, Kerr (1977)]:
250
^2= (т+Ш) р3; W3=—&3(j2dI+0(p3);
4f4=^>2p5u/+0(p2); (25.22)
І=оф In &-?ЛІ) + (д In 9>—L,u)2=&-' {d$V),«.
Члены более высокого порядка по р, появляющиеся в Y3 или 1If4, тождественно равны нулю, если Ya=O или M^=Y3=O соответственно.
Используя (25.22), можно показать, что решение будет плоским, только если т-\-\М=Ь=д1=ди1.
25.1.4. Свобода в выборе координат н трансформационные свойства
Теперь обратимся к возможным коордипатиым преобразованиям и к трансформационным свойствам функций, входящих в метрику, и уравнений поля. Как показано в § 23.1.3, существует три основных типа координатных преобразований.
Первое координатное преобразование, которое мы обсудим, отражает свободу (23.31) в выборе начала отсчета аффинного параметра r°(Z, ?, и). Так как г° входит только в W, р и H [ср. с (25.13)], но не в функции L, 9і, M и т, которые появляются в уравнениях поля, то выбор г° определяется скорее вкусом, чем практической ценностью при интегрировании полевых уравнений. Можно выбрать r0 [Debney е. а. (1969)] в виде r°-\-YZ=9i2dL, но большинство авторов выбирают
г°'?, и)=0. (25.23)
и мы также будем использовать эту калибровку.
Оставшиеся степени свободы
t'=/(t): (25.24)
к’ —FC, С и): rF:7/ (25.25)
более важны; они меняют Ls т-\-\М и 9і и будут часто использоваться при интегрировании уравнений поля. В частности, преобразования (25.24), (25.25) при соответствующих изменениях (23.28),
(23.30) тетрады приводят к законам преобразования
to1' = (П'~')|/: (0’; 0)1 “со4' — (25.26)
которые означают:
P'=F.,,?; Z = FnS'; д’-^Г'д-. .Г-.= F~'\Г \.9; L'=f,-,(LF.„-F,0; (т + \М)’ =FZ? (т + \Му,
(дIn У? - L J = /'“' (din :9 - Lm + j-f'T''): (25-27)
/'=/' '* (/ +7"' '2/' - 37"2/4/'2).
Как и следовало ожидать, полевые уравнения либо явно инвариантны, либо их легко можно записать в инвариантной форме.
251
Перечень (других) инвариантов можно найти в работе [Robinson е. а. (1969а)]; к ним относятся г~1Ъ, р2/С, (т+Ш)р3.
Если исследовать определение V,u=9> функции V в свете законов преобразования, то можно осознать значение этой функции:
V является как раз тем преобразованием F (f'= 1), которое преобразует произвольную функцию 9і в 5s'= 1. Таким образом, упрощение полевых уравнений введением V имеет такое же основание, как и упрощение с помощью замены 9*=1 и формы Керра (25.21).
25.2. Некоторые общие классы решений
25.2.1. Характеристика решений
Полевые уравнения в случае алгебраически специальных вакуумных решений становятся менее сложными, если предполагается специальная зависимость функций, входящих в метрику, от координат. До сих пор это делали двумя различными способами [ведущими ко всем известным решениям, кроме решения Хаузера типа N (25.71)].
Одним из возможных предположений является независимость всех функций, входящих в метрику, от ? и ?; мы обсудим этот класс в § 25.2.6.
Второй путь состоит в предположении, наоборот, довольно специальной зависимости функций, входящих в метрику, от переменной и. Чтобы определить явно эту зависимость, необходимо ограничить возможные преобразсвания (25.25) переменной и, что мы сделаем следующим образом:
5>>и = 0ф;фи' = и&(?, С) + /г (С, С). (25.28)
Основным предположением теперь является [I. Robinson, J. Robinson (1969)] независимость L,u—д In 9і и m+Ш от и. Вследствие полевого уравнения (25.16) и калибровки 9>,и=0 это предположение эквивалентно
L,u- (In 9>)л = G (С, С); (25.29)
(<*-26)(?/ = 0; / = — ^-G + G2. (25.30)
Основную мысль теперь можно изложить следующим образом. Предположим, что мы умеем решать дифференциальное уравнение (25.30), которое фактически является одним из уравнений поля, и нашли решение G. Тогда оказывается, что второе полевое уравнение (25.206) можно решить в том смысле, что m+Ш выражается через G, 9> и произвольные функции или константы интегрирования. Третье (и последнее) из уравнений поля (25.20в) теперь можно свести к линейному однородному дифференциальному уравнению для действительной функции или же можно решить явно. Решение G иногда называют фоновым, так как т+Ш=0 и L=[G+(\п9>) и также дают алгебраически специальные реше-
