Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
т+Ш=^)/,-3 (и),
где цо — комплексная константа. Второе полевое
(25.16) можно записать как
ди (L41) =SiI0L-3LtU, OI=-LduduLL,и,
что дает
—2dI=2LduduLL,u=Sn0L-*-{ V0L-2,
где V0 — другая комплексная константа.
Последнее уравнение и третье полевое уравнение M=ImdddL составляют систему трех действительных дифференциальных уравнений для комплексной функции L(u). Эту систему можно упростить, если ввести новую действительную переменную w следующим образом:
L = g~112 (и) е1'р(“); dw=g~3>2du; du—g3i2dw. (25.65)
При этом оставшиеся полевые уравнения, выраженные через g и ф, имеют вид:
f'g" _ f"g' -j-(2<p'’ — <р'")g= — Ітц.0еЗІч>; (25.66a)
(2<p'* -}- <p"') g = — Im v0 eI<fl; (25.666)
g"' + 6g'f'* + 12g<p'<p" = — Re (3p.0e3i,f 4- 1 e1*), (25.67)
где g', (p' и т. д. обозначают производные по да.
Решения If=Const, (p=const и Ji0=Vo=O дают т+іМ=0=дІ= =duI и, следовательно, они являются плоским пространством-вре-менем [ср. с (25.22)].
Решения с ф'=0 (=фф=0 с помощью ?;—? -поворота) не
имеют вращения (2=0), принадлежат к классу Робинсона — 258
(25.61)
(25.62) уравнение
(25.63)
(25.64)
Траутмана и могут быть легко преобразованы к координатной системе с L=O=W, 9=9(1,, и). Примерами решений без враще-
ния этого типа будут С-метрика (24.23) (?==2>vo=0) и метрика типа III (24.16)(<=:фцо=0).
При ф'^=0 третье дифференциальное уравнение (25.67) является следствием первых двух (25.66) и рассматривать его нет необходимости. Единственное известное решение этого типа (с вращением и не зависящее от ? и ?;) есть общее решение в случае V0=O. При V0=O дифференциальное уравнение (25.666) интегрируется с помощью е-21?^' — i<p")= 1/2, а полным решением системы (25.66) является [Kinnersley (1969b)]
eI<f“ = dn(to>)-f-і sn(е^)/l/2<p'.-= cn (w) =V^c°s 2<р; (25 68)
g (w) = Re о^е21'* — 41m (А0<р' e~lf.
Здесь dn, sn, cn — эллиптические функции Якоби модуля 1/]/2; а„ и Ho — комплексные константы. Это решение является обобщением С-метрики (24.23) при наличии вращения.
25.3. Решения типа JV(iF2-Ys = O)
Вследствие структуры (25.22) компонент тензора Вейля решения типа N по Петрову характеризуются выполнением следующих условий:
m-\-iM=0; ди1ф0\ д/ = д [д~(дIn SP - ZTj + (д In - ?„)*] = d\SP~l (ddV)tU\ = 0. (25-69)
Если эти условия удовлетворяются, то полевые уравнения сводятся к единственному уравнению
Im SdddV = 0. (25.70)
Заметим, что никакие решения, принадлежащие к классам, изученным в предыдущих разделах, не могут принадлежать к типу N, так как все такие решения не удовлетворяют требованию диіф0, если они удовлетворяют остальным условиям (25.69).
До сих пор был найден только один (однопараметрический) класс решений типа N [Hauser (1974, 1978)]. Вычисления, которые привели к построению этого решения, были проведены не в тетраде и координатной системе, используемым до сих пор, а в системе, иначе приспособленной к выделенной изотропной конгруэнции и условиям типа N (коэффициенты Ньюмена — Пенроуза т при этом не равны нулю). В подробной записи решение имеет 17* 259
вид [ср. также Sommers, Walker (1976)]:
ds*=2<о’<ог — 2соа<о4; о1= — dC'p — Л<о3=,<ог; a* = -2du+iV22x(<K-&); (25.71а)
(о* = dr + 3iS (AdC - Щ\
С-(л+і ^)/1/2; P-* = -(r + iS). где S и А имеют вид
Ъ = -(-хП Л = 4г[(*~?)т+т1- (25-71^
Здесь функция f=f(u/x2) подчиняется дифференциальному урав-нению
16(1 +и2/Xа) f"+3f=0. (25.71в)
[ср. Novoseller (1975)]._В обозначениях (25.13) решение Хаузера дается L = 2(u+i)/(?+?), 58= (?+?)7/2/(ы) [DStephani (1980)].
Решение типа N (25.71) допускает вектор Киллинга %=ду. Оно содержит один существенный параметр, который может быть выбран как отношение коэффициентов двух соответствующим образом выбранных решений дифференциального уравнения (25.71в). Решения не являются асимптотически плоскими и не описывают поля излучения изолированного источника. Математическая структура уравнений поля типа N была изулена в общем виде [Sommers (1977); Ernst, Hauser (1978)].
25.4. Решения типа III (Hf2 = O, Hf3^=O)
Решения типа III характеризуются следующими условиями [ср. с 994 •
т+Ш=0; діф0. (25.72)
Все решения с вращением, известные к настоящему времени, принадлежат к частному случаю общего класса, рассмотренного в § 25.2.3, т. е. в дополнение к (25.72) все они удовлетворяют условиям ^,U=O=AA In L,u=0 и поэтому могут быть получены из решений типа III без вращения. Эти известные решения [I. Robinson, J. Robinson (1969); Held (1974а); Robinson (1975)] определяются выражениями (25.43) — (25.47), при этом,_ конечно, т+ -|-Ш=0; они обладают вращением, только когда L1 с фLx^
25.5. Решения типа D (SHf2lF4=ZHf2S, Hf2=H=O)
Все вакуумные решения типа D по Петрову известны [Kinner-sley (1969Ь) ]. Они были найдены с помощью формализма Ньюмена— Пенроуза, основное отличие которого от метода, приведенного в общих чертах в этой книге, состоит в том, что в качестве обоих векторов к и 1 были выбраны собственные векторы тензора 260
Вейля. Систематический подход на основе канонической тетрады В координатной системы, используемых в этой главе, можно найти в работе [Weir, Kerr (1977)].
