Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
252
вия. Для некоторых случаев были найдены явные решения (см. табл. 25.1 и следующие разделы).
Таблица 25-.1. Алгебраически специальные вакуумные решения с вращением, когда э-, m + lM п Lili— д,\п^ = 0 не зависят от]
и (/= —д—0 + G1). Во всех случаях используется система координат
уравнения (25.13)
L.U дс/ ф0 д</ = о=/
^,иФ 0 Только уравнения: (25.31)-(25.34) Плоский фон. Все решения известны и даются выражениями (25.50). (25.51), (25.55)
о !I 3 Уравнения: (25.38)—(25.41) Фон: решения типа III без вращения; Решения (не исчерпывающие): (25.42), (25.43) — (25.47) ,, Все решения известны и даются ны-ражениями (25.58), (25.59)
Аналогичным образом можно редуцировать и упростить уравнения поля даже в том случае, когда m+Ш зависит от и [так что
(25.30) больше не является справедливым]. Ho до сих пор не известно решение, которое удовлетворяло бы (25.29) и не удовлетворяло (25.30).
25.2.2. Случай <^/ = <?t(G2—d^G) ф 0-
Условие (25.30) есть дифференциальное уравнение для комплексной функции G(t,, ?), которое, записанное полностью, имеет вид:
(* - 2G) * (Gг - diG) =0. (25.31)
Если оно удовлетворяется, то в силу уравнений поля (25.16) «массовая часть» т+Ш не зависит от и; запишем это следующим образом:
m H- ІЛ!=25е»3Л (С, С) [й/]3/2.
Подстановка этого выражения в (25.206) и исключение L,u с помощью (25.29) показывает, что А является функцией только ?:
т + Ш = 29* A (C) [<?< (G* - <*G)]3/2. (25.32)
Теперь остается решить только третье и последнее полевое уравнение (25.20в). Если использовать для L требование
L = (G + дс In 9) и- A(I)P-' [<?с (G8 - G)]1'/2 + 9~' (0-|н*) [Ф-f №],
(25.33)
то это полевое уравнение показывает, что Ф(?, ?) является произвольной (действительной) функцией и что для действительной
253
функции '!'(t;, ?) должно выполняться
- l(G* - G.0 ЧГ].« - [(G1 - G.t) ЧГ].« -I- (G2 - Gft) (Gs - 0.0 ЧГ=Ю.
(25.34)
Четыре уравнения (25.31) — (25.34) показывают, как построить точное решение: необходимо решить (25.31) относительно G (С, С), э затем (25.34) относительно 1F (С, С). Функции Sa (С, С), Ф(С, С) (обе действительные) и Л (С) являются произвольными; когда эти функции выбраны, L и т-{-\М можно определить из (25.33) и (25.32) соответственно. Полную метрику можно затем получить из (25.13); в общем случае она не допускает существования вектора Киллинга.
К сожалению, в общем случае не известно явного решения. Все известные решения принадлежат к частным случаям, когда либо L,u=О, либо ^t(G2-GiC) = O.
25.2.3. Случай d^l — (\(G2 — д;р)ф$,Ltu = Q
Если функцию G(?, %) в (25.29) можно записать как производную по ? от действительной функции, то можно выбрать координату и (т. е. функцию 3і) так, чтобы выполнялось равенство L,u= =0. При этом имеем
G (С, С) = — (InSa)1C. (25.35)
Координата и теперь фиксирована с точностью до изменения ее начала отсчета [k=\ в (25.28)]. Все функции, входящие в метрику, не зависят от и\ %=ди — вектор Киллинга.
«Фоновое уравнение» (25.31) для G теперь имеет вид:
ДД In Sa = In Sa = 0, (25.36)
а ограничение дг.1 ф 0 можно записать как
2 SaVc/ = (In Sa) с Ф 0. (25.37)
Неожиданно оказалось, что уравнение (25.36) в точности совпадает с полевым уравнением для вакуумных решений типа III и N, имеющих расширение и не имеющих вращения, а ограничение (25.37) обеспечивает принадлежность решения к типу III [ср. с (24.12)]. Таким образом, для всех решений с д^ІФ0, Zsu = O= -SitU фоновым будет произвольное вакуумное решение типа III без вращения, в котором действительная функция 3 подчиняется условию
Д In Sa (С, С) = - 3 (С + С), (25.38)
[ср. с (24.14)]. Соответствующие решения с вращением можно построить следующим образом [Robinson (1975)].
254
Начнем с произвольного решения & уравнения (25.38). В силу
(25.32), (25.33) и (25.37), (25.38) т-\-Ш не зависит от
/я + Ш = Зі Л (С) УЩ (25.39)
a L можно записать как
L = (m-\- \M)I3S>* + й |(ЧГ + іФ)І9>\, (25.40)
где подчиняется
ЧГ>кК - (WSbiiISb)^ - (WSbtJSi)iii + WSi^SbrJSb*=0- (25'41)
Необходимо решить уравнение (25.41), и тогда Sb, т-\-\М и L определяют метрику. Ф (С, С) и А (С) — произвольные функции, но Ф
можно устранить координатным преобразованием u' = « —j— Л (С, С). Простым решением этого вида является
L=(т+ІМ) /ZdaAr а 19і2, (25.42)
где G=Const (действительная).
Большой класс решений можно построить из единственного решения
S> = ^-SrIfI2 = (xV%m (25.43)
фонового уравнения (25.38). Если выбрать в (25.40) функцию Ф так, чтобы (Ф/!?)^=(Wfdi),х удовлетворялось, то L примет вид
L= (m+Ш)/3^4-/(*, у), (25.44)
где действительная функция I определяется с помощью
/„ = w = 2-^(473%. (25.45)
Вместо (25.41) теперь необходимо решить
w,xx-j-w,yy-j-6x-]w,x4-2x-2w=0. (25.46)
Решение можно найти стандартным разделением переменных;
наиболее общее решение есть линейная суперпозиция функций
Ws= X-5'2 Jy ll7i (sjc) [as esy + bs e -sffI, s’ =? О,
(25.47)
где Jn (sjc)—функции Бесселя. Уравнения (25.13), (25.39),
