Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из (23.37) вычисления проводят по аналогии с вычислениями для вакуумных полей и полей Эйнштейна — Максвелла и приходят к теореме:
Теорема 24.6. Все алгебраически специальные решения с полями чистого излучения, когда общий изотропный собственный вектор к поля излучения и тензора Вейля является геодезическим, бессдвиговым, нормальным, но имеющим расширение, даются выражениями (24.58), (24.59) и выражением
ds* — —т- d-d-----2dudr — [ Д In SP — 2r (In SP) „ — 2m
У'-(иЛ,Ч L ' Г
du*; (24.60а)
ka = (0, 0, 1, 0); А = 23Ь'дідї,
ДДInSP + ItImilnSP) ^u- 4miU=4xe/z*(?, С, и). (24.606)
В общем случае из (24.60) следует, что две функции, например 9і и т, могут быть выбраны почти произвольно; ограничением является то, что левая часть равенства должна быть положительна. Равным образом можно положить п и т=0, ±1 (специальная калибровка) для всех и и ? и 9>(t, «о) для фиксированного
U = Uo-
Компоненты тензора Вейля являются теми же самыми функциями 9і и т, которые даются для вакуумного случая выражением (24.9). Как можно видеть, не существует невакуумных решений типа N или О (4^=4^=0). Решения типа III характеризуются тем, что т = 0, (А\п9>)хФ®, ДД1п^>0. Примерами решений типа III являются
S^xa= [Г,+Г7)У2]П. 1<с<1,5. (24.61)
Все решения типа D известны [Фролов, Хлебников (1975)]. Они являются обобщениями или вакуумных решений (24.20), или статической С-метрики (24.23). В первом случае /C=A In является функцией только и, и, таким образом, 9і имеет вид:
# = *(«)? +p(u) С +р (U)C +8 (и); /Г = 2(а8-р?), (24.62)
где т(и) —произвольная функция, а /г(?, ?, и) можно вычислить из (24.606). Для положительных К (24.62) дает ракету Киннерсли
245
(28.23). Если а, р и б — константы и К положительно, получаем решение Вайдья (13.20). В общем случае функции а, (3, б можно интерпретировать как ускорение «частицы», движущейся вдоль пространственно-подобной, временно-подобной или изотропной мировой линии [Newman, Unti (1963); Frolov, Khlebnikov (1975); Taub (1976)]. Во втором случае метрика дается выражением
ds* = гг3°г (і)) df + dudi\ —
Ji(Tl) т( а)
-2 dudr + -- rIda2----- $>-*(,)=-2 V + ^ + d (24.63)
т2 (и) ^ — т/ г)
(в коэффициенте при du2 аргументом 3і является rj—m/r). Здесь b и d — константы; т(и)—произвольная функция, из которой поле излучения п(и) можно получить с помощью (24.60), т. е. посредством
—т,и=щп2. (24.64)
24.4. Решения Робинсона — Траутмана с космологическим
членом А
Если предполагать, что тензор энергии-импульса имеет вид
*Jm = - Аётп\ Л =COnst1 (24.65)
либо добавить этот член к тензору энергии-импульса максвелловского поля, или к тензору энергии-импульса чистого излучения, то полевые уравнения решаются аналогично случаю Л=0. Окончательный результат вычислений можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 24.7. Если метрика
ds2 = їггЗдЧЖ - 2dudr - 2Hdu3 (24.66)
является решением (вакуум, поле Эйнштейна — Максвелла или по-
ле чистого излучения) без космологического члена, то
ds3 = 2re&-tdtdt - 2dudr - (2Н + Ar3Itydu3 (24.67)
есть соответствующее решение с космологическим членом Л.
Глава 25
Вакуумные решения с вращением
В предыдущей главе были достаточно подробно рассмотрены решения без вращения (решения класса Робинсона — Траутмана), приведены или отмечены почти все доказательства и показано, как множество известных частных решений укладывается в каноническую форму метрики и полевых уравнений.
В случае решений с вырожденными собственными направлениями, имеющими вращение, этот путь подробного изложения ма-246
териала невозможен; им можно заполнить еще один дополнительный том. С этой же проблемой сталкиваются большинство авторов, пишущих на эту тему. Необходимость представить сложные вычисления в сжатой форме делает некоторые статьи почти нечитаемыми, и порой даже проверка вычислений становится огромной проблемой. То, что мы попытаемся сделать здесь и в следующих главах, это показать, почему, как и насколько далеко работает процедура интегрирования полевых уравнений, и какие классы решений известны.
25.1. Вакуумные решения с вращением — уравнения поля
Чтобы добиться лучшего понимания структуры вакуумных полевых уравнений, последуем Саксу [Sachs (1962)] и разделим их на три группы, а именно на
[индексы относятся к тетраде (3.8)]. Основание для подобного разделения лежит в следующем свойстве (которое можно доказать с помощью тождеств Бианки): если к есть геодезическая и изотропная конгруэнция с расширением (ка-,аф0), то: а) тривиальное уравнение удовлетворяется тождественно, б) дополнительные условия выполняются для всех значений аффинного параметра г изотропной конгруэнции, если они выполняются для фиксированного г.
В случае алгебраически специальных решений наиболее замечательным свойством главных уравнений является то, что их можно проинтегрировать полностью, что дает зависимость от г для всех функций, входящих в метрику, в виде простых рациональных функций г. Дополнительные условия при этом оказываются дифференциальными уравнениями для тех составляющих частей метрики, которые зависят от трех оставшихся координат ?, t; и и. В общем случае эти дифференциальные уравнения не могут быть разрешены; они играют роль (и часто так называются) полевых уравнений для алгебраически специальных вакуумных метрик.
