Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(24.43) — это как раз те решения, для которых оба двойных собственных вектора тензора Вейля являются также собственными векторами поля Максвелла.
Если Q,; =^O1 то решения типа D имеют следующий вид:
ds2= гге~х (йхг + dy*) —
-2dudr - X0 [¦ 6)2 + «“*(«« + ») j du¦; (24.44)
Ф, = гЧх-1у) 12(аи + Ь)12гг;
Фг = - Зє2х~зіуі2 (аи + Ь)/гг2 [/2-а e*-3‘W2/r У 2, где а и b — действительные константы.
24.2.4. Решения типа II
Только некоторые частные случаи полей Эйнштейна — Максвелла типа II по Петрову без вращения были исследованы детально. Они связаны со специальными свойствами поля Максвелла или с простыми функциональными структурами входящих в метрику функций. В частности, были изучены случаи A=0, Q=O и А In 0= =const (но ни в одном из этих случаев полное решение не известно) .
Если А обращается в нуль, то полевые уравнения (24.36) дают (для действительных q и !Po)
m—m(u); Q=q2{u)f(t,); (24.45)
ДДІп^+ 12m (lg <7),„ — Amill = O-, (24.46)
?f> = q{u)9\(t., C).
Сравнивая эти уравнения с вакуумными полевыми уравнениями Робинсона — Траутмана (24.8), мы видим, что справедлива следующая 242
Теорема 24.5. Если
dsi^—'2r2'd'>~2dt,di — 2dudr —
- [Д In Э> - 2г (In &)м - 2т (и) r\du2 (24.47)
— такое вакуумное решение (плоское или не плоское), что 3і удовлетворяет (24.46), то
ds\=ds\ - x0ql (и) /(?)/(?) du*,^/-2; (24.48)
Ф, = <?>)/(?)’2r2; <bt = q*{u)~f.i!2r*
является полем Эйнштейна — Максвелла, где q(u) —действительная функция, f(?)—аналитическая функция, причем с помощью координатных преобразований можно добиться q= 1. При таком выборе координат полевые уравнения (24.46) принимают вид
AA In ^90=A=Const; Am=ku. (24.49)
Примерами вакуумных решений, удовлетворяющих (24.46), являются (24.15), (24.20) и (24.25).
Если поле Максвелла изотропно (Q=O), то полевые уравнения (24 36) дают m=m(u), /і=/і(?, и) и
AA In 9+12т (In 9і) 4яі1„=4х0^йЛй. (24.50)
Кроме решения типа III (24.40) и решения типа D (24.42) известным решением этого уравнения является [Bartrum (1967)]
#=/(С)/(С)(1+«/2). m=const; A=|/mf(;)nC)eW“>, (24.51)
У *0
где ф — действительная функция.
Все решения типа II, которые (после подходящего выбора координаты ?) удовлетворяют условиям
Д In S5 = O; Q = q (U)QVv*, (24.52)
(где q — действительно), точно известны [Leroy (1976)], исключая (24.53). В силу полевых уравнений (24.36) и предположения
(24.52) m является функцией только и и х. В итоге оказывается, что возможны два случая.
Если разность Smq,и—2qm,u равна нулю, то решение (после преобразования ?->-4t;) имеет вид:
ds* — Auc~xr* (dx3 dy2) — 2 dudr
1— I 2*И Л3* I *' р4* я + Sr cIr-
du2;
^ Є2(Х Iff) ф _ V2Aa (5,-41,,/2 _ V^L e(3.v-4iy)/2_ (24-53)
2г2 ' 2 гг 2 г
Если разность 3mq,u—2qm,u не равна нулю, то метрика и поле Максвелла имеют вид:
ds2 = (dx2 -f- dy3) — 2dudr — е* — du*;
(24 54а)
ф — JLe (Jt-Itf)/2. ф=______________е(лс—ig)/2 I----------_e-U + ig) /2
1 2г 2 2ггК2 К2
16* 243
где SP, т и q выражаются следующим образом:
1, /я ==/гс0-|-2ex.trу,е*; q = q„; S=O1 1, (24.546)
или Sb = Qx/2; от = /га0 — x0 — — а In |<у|; q=au-\-b, (24.54в)
2 8
или
^>=ег-с/2; т=т0—а2(и+ах) /2x0q20; q=q0, (24.54г)
или ^ = е-^; m=m0 + f— —----------------------- е*+^-<Де5Л и-'/3;
\ 2 ?0 6 / q=q„u'l3, (24.54д)
или SP=^x; т — таА------------^------(аи_|_м<і-*п/(іог-і> e*<i-*n;
0 ' (1—2f)(l —10f) v 1 '
q=(au-\-b)*tioot-»; /(2/ — I) (2/ —|— 1)(10/- 1)#0. (24^54e)
Здесь q0, mo, a, b, f — действительные константы. Во всех этих решениях можно получить &=\ или q= 1 с помощью координатных преобразований (23.38). Они все допускают по крайней мере один вектор Киллинга %=ду. Для некоторых значений постоянных интегрирования решения могут быть более вырожденными, чем решения типа II, например (24.54е), где то=0, /=1/6 дают метрику типа D (24.44) в некотором образом измененных коорди-
натах.
Все метрики, для которых Aln^=E = Htl, !?,и = 0, т. е. ds*=2гМИС ДI + -J- CC )* - 2dudr +
+ (s - 2J7 + j^-)du*¦ 6 - 1 ’ ^24-55)
были изучены Ковальчиньским [Kowalczynski (1978)]. Некоторые
из них удовлетворяют условиям теоремы 24.3. Оставшиеся решения имеют вид:
Q — Q0C У и; /я =m0 + X0Q80 In (I + еСС'2) — X0Q10 (In и) '4;
A=A= sQ/(2 + •«) /й, s = і 1 (24.56)
Q=Q,^u; m=m. + ^Q.Q,Ц„ +W2,
S = -I. (24.57)
(I + ?^2) (і 4-5/К2)
Qo___________ї + S/2
2 К2а (I — ?5./2) (I + Vf 2)'
Как и большинство решений с ?—^-пространством постоянной отрицательной кривизны, решение (24.57) можно интерпретировать в терминах мировой линии тахиона.
244
24.3. Решения Робинсона — Траутмана для чистого излучения
Поля чистого излучения
Tmn=Wknkm (24.58)
во многом подобны электромагнитным изотропным полям. В обоих случаях условие Ttnnin= 0 вместе С условиями km;nkn=0 И kn-n = =2/г дает следующую структуру решения:
ф2 = й2(?, I и)!г*. (24.59)
Отличие состоит в том, что в случае поля Максвелла на n2=2hh9*2
накладывается добавочное ограничение hx — 0.
