Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
25.1.2. Интегрирование главных уравнений
В теореме 23.1 показано, что пространство-время допускает геодезическую, бессдвнговую, расширяющуюся изотропную конгруэнцию к (с вращением или без) и удовлетворяет уравнениям Ru=Rti=Rii=O только в том случае, если метрику можно запи-
25.1.1. Структура полевых уравнений
главные уравнения: Ru=Rw=Ru=Ru=O-, тривиальные уравнения: Rzi=O-, дополнительные условия: #зі=#зз=0
(25.1)
(25.2)
(25.3)
247
сать в форме
ds*= 2<o’(i)! — 2<о3<о4;
— _ (25.4)
ы' =mndxn= —dVSP р; ыг=тпйхл = — dC 'Sb?;
о3 = - kndxn = du -J- Ldl: + IdC:
<о4 = - IJxn = dr + WdZ + Wdl + Н<*\
где т1 = е\ =(—дьр, 0, SsIFp. Sf^Ly,
т1 = е\\ ї=е13 = {О, О, — Я, 1); *‘ = ^(0. О, 1,0) (25'5)
и P -1 = — (г -I- re -h Ї2); 2iS=^»*(JZ. —
_ _ (25.6)
IT = (r*+ iS); d=di-Ldu. O^di-Ldu;
здесь г° (действительные) и L (комплексная) — произвольные функции переменных ? и и, a Я (действительная) — функция всех четырех координат.
Из главных уравнений (25.1) остается проинтегрировать только /?12=0. Сделав это, получим зависимость функции Я от г.
Чтобы получить компоненты /?12 и Rn тензора Риччи, обратимся к формам связности Го*=—Гба=Габс»)с метрики (25.4) и вычислим (3.23Ь), используя выражение (23.17) для Rmz- В результате имеем:
Яг* = Р° [р-!2 (Г„, + Г4И)],4 - 2р (In SP\(25.7) ^іг — (Р “1“ Р) (^213 + Г 433) -J- 2рГ321 + 2р (In SP)n -J-+ (In 9>)llt - (In SP) „ (In ^pjll -J ¦ (In SPpt)^- (In 5У)12 (In SP?)h, (25.8) где
Г213 = і Im ISW11 + Hp + (In-P)13J1 Г433 =Я|4; (25.9)
Г321 = — і\m[SPffi,, +Яр] + Re [(InSaP)l3]. (25.10)
Чтобы выделить информацию, содержащуюся в уравнении R\2=0, более удобными для восприятия частями, начнем с уравнения /?34=0 (которое фактически является следствием главных уравнений, включая Ru=O) и проинтегрируем его с помощью соотношения
гг,3+г4„ = -(1п^).ц+(т+йИ)р!; (да+М)ц=о. (25.11)
где т и M — действительные функции интегрирования. Действительная часть (25.11) дает
Я=-(г+г°) (In?),* + Re[-(m+iM)p]+r°>«+/:/2, Ku=O-
(25.12)
Вводя оба этих результата в уравнение /?іг=0 и повторно используя (23.24) и (25.6), выразим К через !? и L. Вычисляя мнимую часть (25.11), получаем выражением через 3 к L. Результат можно сформулировать следующим образом:
248
Теорема 25.1. Пространство-время допускает геодезическую, бессдвиговую и расширяющуюся изотропную конгруэнцию к и удовлетворяет уравнениям Ru=Ru=Ru=Ru=Rn=O только в том случае, если метрику можно записать в виде
ds* = 2<al<a* — 2о)3о)4; = =
_ _ (25.13а)
o>5=du + LdC + Z.dC; ®4 =:rfr+ rrfC + rdT +Ям*.
Функции, входящие в метрику, удовлетворяют соотношениям: р-1=— (r+r°+i2); 2i2=^2(<fZ,—dL); (25.136)
Г=1 „'р+ <?(/••+ І2); д^д,-Ldu; (25.1 Зв)
H=—¦ (г+г°) (In 5s)[m(r+r°) +М2] /[ (г+г°)2+
+2*)+К/2+г\; (25.13г)
К=29>2Яе[д(д\п9>-П,и)]; (25.13д)
M = ПК+P2 Re[ddt—2L,udZ—2дидЬ] (25.1 Зе)
[Kerr (1963а); Debney е. а. (1969); Robinson е. а. (1969а); Trim, Wainwright (1974)].
Интервал (25.13) имеет замечательно простую зависимость от г. Более того, все остальные функции от t, f и и выражены через комплексную функцию L и действительные функции г°, н т. Так как от г° и 9* можно избавиться с помощью координатных преобразований (см. § 25.1.4), то можно считать, что метрика определяется двумя функциями L (комплексной) и т (действительной).
25.1.3. Оставшиеся уравнения поля
Рассмотрим теперь, какие условия накладывают на функции L, т, 3і и г° оставшиеся уравнения поля, т. е. дополнительные условия /?1з = /?зз = 0. Для метрики, определяемой выражением (25.13а), с помощью прямых, но громоздких вычислений находится тензор кривизны, а полевые уравнения /?із=/?зз=0 записываются через упомянутые выше функции.
Для Rіз получаем выражение
= P - * [р (Г„ з + T43JI (, + (In я>), ,3 - (In 3% (In .9Ї), 3, (25.14)
а в силу (25.11) и (23.24) полевое уравнение Ru=O немедленно дает
d{m+\M)=Z(m+\M)L,u. (25.15)
Вычисление /?зз=0 достаточно длинно, поэтому, опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат [Kerr (1963а); Debney е. а. (1969); Robinson е. а. (1969); Trim, Wain-wright (1974)]:
[9>~*(т+\М)),и=9>\д+2{д In&>—L,u)]X
Xd [д [д In 9і—L,u) + («Tin P—L.u)2}. (25.16)
249
Так как M уже выражено через L и 9 в (25.1 Зе), четыре уравнения (25.15), (25.16) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных для 9, т и L. Заметим, что в силу определения д=dz—Ldu функция L также появляется в дифференциальных операторах!
С помощью коммутационных соотношений
dd—dd=(dL—d?)du; ddu—dud=L,udu (25.17)
полевые уравнения, так же как и определения (25.13) функций М, W и Н, входящих в метрику, можно представить в весьма различных формах. Формального упрощения можно достичь введением действительного «потенциала» V для функции 9 следующим образом:
V.U=? (25.18)
[I. Robinson1J. Robinson (1969)]. Из (25.18) следует
1==д(д In &>—С,и) + (д In &>—L,и)2=9>-' (<W).U, (25.19)
и система уравнений (25.13е), (25.15) и (25.16) принимает вид:
