Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
г=—р-1=©-1; L=IF=S=/-0=0, (23.35)
и вместо (23.22) получаем
fa2=r&>-}dt>', e»3=du; <a*=dr-}-Hdu. (23.36)
Теорема 23.2. Пространство-время допускает геодезическую, бессдвиговую, не имеющую вращения, расширяющуюся (р=р= =—г-1) изотропную конгруэнцию к и удовлетворяет условию Rn= =Rn=Rn==O только в том случае, когда метрику можно записать в виде
ds2=2&W—2M=2r23>-2dUi—2dudr—2Hdu2-, &>,г=0;
т1= (3і/г, 0, 0, 0); m‘=(0, SiIr, 0, 0);
Ii= (О, О, -Я, I); k‘=(0, 0, 1, 0). Этот интервал сохраняется при преобразованиях
и' = F(u)-, r=r'FtU', W=V-Fy,
I=VF,и, %'=%'&)¦, /d%\-
dV/dX
(23.37)
е!С =
dZ’/dK
1/2
; m'=elc/n. (23.38)
Решения, которые удовлетворяют условиям данной теоремы, будут называться решениями Робинсона — Траутмана [Robinson, Trautman (1962)].
Глава 24
Решения Робинсона —Траутмана
24.1. Вакуумные решения Робинсона — Траутмана
24.1.1. Полевые уравнения и их решения
По определению решения Робинсона — Траутмана удовлетворяют требованиям теоремы 23.2, т. е. они являются алгебраически специальными и удовлетворяют условиям X=O = W = O; 9=^0;
/?44=/?41 = /?П=0.
234
Чтобы получить все вакуумные решения этого класса, будем исходить из метрики (23.37) и решим, по крайней мере в частном случае, оставшиеся полевые уравнения Ri2=R^=R33=R34=O.
Формы связности I-форм (23.36) оказываются равными
Г41 == — «)* У; Г.,„ —- «о1 [(In .^).„ 4- Я 'І — У;
Г„ + Г,, = - «' Sftл!г + «в^.« > + ^3H г. (24‘1)
а ненулевые тетрадные компоненты тензора Риччи имеют вид:
- 2/?,.,*, = (In 3>).:; - • - - 4 (Hr)у, (24.2)
г- Г г-
Rtx=iRiUi -г R4,и = -у- 1^.гс + (In ^)..,;|; (24.3)
Riз = 2/?лэа = — Я,„ + Яд + Ан р + 2#5\;
г г- ' и * ) и ГJ-
(24.4)
^з« — ^54 4 + 2^,,33 =7(г'Н,).,+ -(InJj),,. (24.5)
Г2 Г
Теперь можно найти вид вакуумных полевых уравнений. Из уравнения /?|2=0 сразу получаем
2 Я= Д In .9а — 2г (In ^).„ - 2т/г; Д = 2^*<*<?е, (24.6)
где /л — произвольная функция интегрирования (не зависящая от г). Уравнение R34=0 тогда удовлетворяется тождественно. Из Ri3=O=R23 следует, что т является функцией только и; с помощью координатного преобразования (23.38) можно выбрать т так, чтобы она имела значение т=0 или /л=±1. Последнее уравнение R33=O дает
ДД In ^+12m(ln 0),4-4m,tt=0. (24.7)
Теорема 24.1. Общим вакуумным решением, допускающим геодезическую, бессдвиговую, не имеющую вращения, но расширяющуюся изотропную конгруэнцию, является метрика Робинсона — Траутмана [Robinson, Trautman (1962)]
ds* = —^-=-dWC-2dw/r- ГдIn2r(In^)u-
•?*(“•?,?) L г J
ДД(In^>)+ 12/я(1п^).ц-4та=0; Дз^. (24-8)
В этой метрике г является аффинным параметром вдоль лучей кратного изотропного собственного вектора (г не обязательно пространственно-подобен); и — запаздывающее время. Поверхности г. W=Const можно представить как деформированные сферы (если они замкнуты); к решениям (24.8) поэтому часто обращаются при описании сферического гравитационного излучения. Конечно, точ-
235
ной сферической гравитационной волны не существует, так как сферическая симметрия означает Д1п^*=/С(«) и, в калибровке т = \, из (24.8) следует, что метрика тогда является статической (для т=0, см. ниже тип N). В некоторых специальных случаях параметр т имеет физический смысл массы системы.
Для метрики Робинсона — Траутмана (24.8) (табл. 24.1) ненулевые компоненты тензора Вейля (кривизны) определяются выражениями
Ip2=-TOr-3; 2ЧГ, = -г'2 ^(MnSaXc;
W4 = /--2 JVi J-I-Alnfl6-T(Infl6)tllJ (24.9)
24.1.2. Частные случаи и точные решения
Решения типа N, 4^==4^=0. Решения типа N характеризуются тем, что т=0 и
Д In(и). (24.10)
Преобразованием u'=F(u) гауссову кривизну К двумерной поверхности 2d.Z,dt>/9>2 можно нормировать таким образом, чтобы K=O, ±1. Частным решением (24.10) является
А» = а(ы)чч + ?(ы)С+ P-(U)C-I-S(U); К = 2 («8 - рр), (24.11)
которое дает плоское пространство-время, когда равно нулю.
При постоянном и (24.11) является общим решением (24.10). Для переменного и соответствующие ^—^-поверхности постоянной кривизны можно представить отображенными друг на друга; отображение имеет произвольную зависимость от и. Таким образом, общее решение можно образовать из (24.11) подстановкой ?->-->?'(«. І), dtr+dl’, &-+9>\(1?/d%\ в (24.11) и в интервал (24.8), где ?' есть произвольная функция (аналитичная по ?). В общем случае эта подстановка не соответствует координатному преобразованию (23.38). При постоянном и она представляет отображение ?—^-плоскости на себя. Единственным взаимно однозначным отображением этого типа является линейная подстановка ?'= = (at,+b)/(ct,+d), которая оставляет инвариантной форму (24.11) и, таким образом, опять дает плоское четырехмерное пространст-во-время. Чтобы получить неплоское решение типа N, надо взять более общую (чем линейная) подстановку, но это обязательно вызовет появление, по крайней мере одной, сингулярной ТОЧКИ 5 И,
Чаблица 24.1. Типы по Петрову вакуумных решений Робинсона— Траутмана (2Н — Д1п У — 2r X X OnjfOtB- 2 m/r)
