Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисление дивергенции в (21.27) по отношению к метрике
(21.25) показывает, что функция w удовлетворяет уравнению Лапласа на V2:
w,xx-{-w,M=O- (21.28)
Из соотношения (21.26) следует, что 4-потенциал электромагнитного поля Aa с помощью калибровочного преобразования всегда можно привести к форме
Aa=Wuia; UiaVa=O. (21.29)
Производная Ли тензора Fab = 2ф_ IaUiвдоль к равна нулю.
В силу уравнений Максвелла действительный скалярный потенциал xF, определенный в (21.29), удовлетворяет уравнению Лапла-
217
са на Vz'.
4f,xx+4f,vv=0.
(21.30)
Для комплексного самодуального тензора Максвелла Р*аь получаем:
F*ab = 2FAau bh F = F (С, и). (21.31
Уравнение Лапласа (21.28) приводит к двум различным случаям: I) W=1 и II) W=X.
I случай (о>=1).
В этом случае к является ковариантно постоянным векторным полем ka-b=0, представляющим собой инвариантную характеристику рр-волн (см. § 21.5). В окончательной форме метрики
ds2=2dt}dt>—2dudv—2Hdu2\
H=%oFP+f+T, f=m, и) ; F=F (I, и) (21.32)
функции f и F аналитичны по ? и зависят произвольным образом от и.
II случай (w=x).
Уравнения Эйнштейна и преобразования координат, сохраняющие форму метрики (21.25), приводят к равенствам
P3=X1/3, т=0. (21.33)
При М=хгхН метрика имеет вид
(Ist=-x^Jy- - 2xdu (dv + Mdu), (21.34)
а оставшиеся уравнения Эйнштейна — Максвелла означают
4^+4^=0, (хМ,х) ,х+хМ,уу=х0 (Ч'2,,+Ч'2>!/). (21.35)
Для заданной потенциальной функции V можно решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение, которое имеет форму уравнения Пуассона в цилиндрических координатах для аксиально-симметричных решений. Эти решения уравнений Эйнштейна— Максвелла для изотропного электромагнитного поля относятся к типу II или D по Петрову. Стационарные вакуумные решения (1F=O) в случае II с Af и 0 являются решениями Ван-Стокума (18.23). Простое решение этого класса — это статическая вакуумная метрика типа D [ср. с (18.23)]
ds2=x~i/2(dx2+dy*)— 2xdudv, (21.36)
допускающая два изотропных вектора Киллинга.
Для полей чистого излучения, не обязательно удовлетворяющих уравнениям Максвелла, величина Я (соответственно М) — произвольная функция, удовлетворяющая условию (хМ,а),а>0.
Для интересующих иас тензоров энергии-импульса случаи I и II содержат все пространства-времена, допускающие изотропный вектор Киллинга без вращения.
Cm.: [Kundt, Trumper (1962); Dautcourt (1964); Banerjee
(1970а); De Banerjee (1972); Debney (1971, 1972а, Ь, 1974)].
218
21.5. Плоско-фронтовые гравитационные волны с параллельными лучами (рр-волны)
В этом параграфе мы хотим исследовать пространства-времена, допускающие (ковариантно) постоянное изотропное векторное поле к:
ka;b=0. (21.37)
Такие пространства-времена называются плоско-фронтовыми гравитационными волнами с параллельными лучами (рр-волнами). Они были открыты Бринкманом [Brinkman (1923)], впоследствии заново переоткрыты рядом авторов. Обзоры по гравитационным волнам даны в работах [Ehlers, Kundt (1962); Jordan е. а. (I960); Takeno (1961); Zhakharov (1972); Schimming (1974)].
рр-Волны относятоя к широкому классу решений, допускающих изотропную конгруэнцию с равными нулю сдвигом, вращением и растяжением (кундтовский класс, см. гл. 27). Очевидно, что рр-волны всегда допускают изотропный вектор Киллинга и поэтому образуют подкласс полей, рассмотренных в предыдущем параграфе.
Из условия (21.37) следует [см. § 21.4 и (31.2)], что решения с неизотропными электромагнитным полем, идеальной жидкостью и Л-членом не могут иметь места, а метрику, удовлетворяющую уравнениям Эйнштейна с изотропным электромагнитным полем, полем чистого излучения и в вакууме, можно записать в форме
ds'=cMZ.&~(Mudo-2Hdut-, Я=Я(С, Ci и), (21.38)
которая сохраняется при координатных преобразованиях:
С =^e1*(С + h(u)); Vr = a (v + h (и)С-\-~h(u)С +g(и));
и’ = '(“ + «.); (21.39)
H' = а* (Н — h (и) С — h (и) С -j- h (и) h(u)~ g (и)),
где а, a, Uo — действительные постоянные; g(u) и h(u)—действительная и комплексная функции соответственно, (21.38) — метрика типа Керра — Шилда (см. § 28.1). Используя комплексную изотропную тетраду
m =(?с; in = dr; I = du — Hdv, к = д0, (21.40)
можно вычислить тензоры Риччи и Вейля:
Rab = 2H Лакь\ 4-C*abcd = VyabVcd-, (21.41)
Vab=UbtnbW ^=#Гс-
Пространственно-временные метрики, удовлетворяющие условию (21.37), являются либо конформно-плоскими (если Hk=0),
219
либо относятся к типу N по Петрову (с кратным главным изотропным направлением к). Изотропный бивектор Vab=2k [ать\ является ковариантно постоянным Va&;c=0 так, что pp-волны подчиняются условию комплексной рекуррентности C*abcd;e— =C*abcd(ln V4),*, (см. § 31.2), Vab определяется метрикой с точностью до комплексного постоянного коэффициента.
Если метрика (21.38) является решением уравнений Эйнштейна— Максвелла, то функция Я и тензор Максвелла (изотропного) электромагнитного поля определяются выражениями [см. (21.31),
(21.32)]:
H = f u) + %0F(i:,u)F(X,и),Fab = ‘2klaFby (21.42)
