Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Олнат [DAllnutt (1980)] недавно получил решение типа D по Петрову, имеющее вид:
(20.44)
ит=(о, о, о, *(i+fT1/2);
И.Н- 6С = \р -J- 6С = 4jc,<1(1 ^ і
где С и п — действительные постоянные.
Cm.: [Letelier, Tabensky (1975а,b); Bray (1971)].
212
Г лава 21
Группы с изотропными орбитами. Плоские волны
21.1. Введение
В гл. 9—20 при классификации пространства-времени по групповым орбитам мы отложили обсуждение случая изотропных орбит. Группы движений с изотропными поверхностями транзитивности будут рассмотрены в этой главе.
Изотропная поверхность Nm геометрически характеризуется существованием единственного изотропного направления k, касательного к Nm в любой точке Nm. Изотропная конгруэнция k ограничена условием RabkaIib=0 и существованием группы движений, действующей транзитивно на Nm.
Группы Gr при г4 на N3 имеют как минимум одну подгруппу G3 (см. теоремы 8.5 и 8.6 и работу [Petrov (1966), с. 179], которая может действовать на N3, N2, S2 или T2. (G* на N3 ие может содержать G3 на T2, так как N3 не содержит T2.) Для G3 иа S2 получены частные случаи метрики (13.3), допускающие либо группу G3 на N3, либо изотропный вектор Киллинга, см. [Barnes (1973b)]. Для G3 иа N2 метрику и соответствующие векторы Киллинга можно записать в форме [Petrov (1966), с. 154), Bames (1979)]:
Cts2=Aixi, x<)(—2dxldx*+(dx?)2)+B(x?, х*) (dx*)2±(dx*)2-,
|,=д,; 12=(?; 13=*?,+*3?. (21.1)
Эта группа соответствует типу II по Биаики; вектор Киллинга Ii= =O1 изотропен.
Таким образом, иам нужно будет рассмотреть только группы G3 на N3 (см. § 21.2); G2 на N2 (см. § 21.3) и Gi на Wi (см. § 21.4)
Так как случай изотропных векторов Киллинга исследуется отдельно, то можно ограничиться анализом групп G3 на N3 и G2 на N2, генерируемых неизотропными векторами Киллинга. Далее будет показано, что в этих случаях, вие зависимости от групповой структуры, всегда присутствует изотропная конгруэнция k с равными нулю растяжением, вращением и сдвигом.
Для рассмотренных в этой книге типов тензоров энергии-импульса (см. § 5.2) все пространства-времена, допускающие G3 на N3 или G2 на N2 (генерируемые неизотропными векторами Киллинга), являются алгебраически специальными и относятся к кунд-товскому классу (см. гл. 27).
2.1.2. Группы G3 на N3
В этом параграфе мы исследуем пространства-времена V4, для которых орбиты группы G3 представляют собой изотропные гиперповерхности N3. Их можно параметризовать, вводя переменную и (и постоянна иа каждой N3). Изотропный вектор Ica=—и,0 орто-
213
гонален ко всем векторам, касательным к Nz, и, следовательно, ортогонален трем независимым векторам Киллинга |а (А= 1,2,3)-
I0Aft0=O; |а(О;6)=0; ka=—u,a\ ifcefte=0; ka = cA(x)?°а. (21.2)
Из соотношений (21.2) немедленно следует, что производная Ли вдоль |а от вектора к для изотропной конгруэнции и от его ковариантных производных равна нулю, т. е.
ItalbIbA-kbtaа-,ь=0: ^aka=0. (21.3)
Теперь используем уравнение (6.32):
Rabkakb=kb,a-,bka-b=—2(оа+02) <0, (21.4)
где а и 0 обозначают сдвиг и растяжение соответственно. В силу непрерывности энергетические условия (5.18)
TabUaUb^0; TabTaeUbUc^0; иаиа<.0 (21.5)
должны оставаться справедливыми при замене временно-подобного вектора и на изотропный вектор к:
Tabkakb^0; TabT“ckbk^0; kaka=0. (21.6)
Сравнение (21.4) с (21.6) ведет к следующей теореме.
Теорема 21.1. Для пространств-времен, удовлетворяющих соотношениям (21.2) и (21.6), невращающаяся (и геодезическая) изотропная конгруэнция к не имеет сдвига и растяжения
ka;b=2 k{aPb), Paka=0. (21.7)
Условия (21.6) так ограничивают тензор Риччи, что к является его собственным вектором:
Rabkakb = 0 = Rnjnakb <=> k[cRa]bkb = 0. (21.8)
Из всех типов тензоров энергии-импульса, рассмотренных в этой книге, только вакуумные поля, а также поля Эйнштейна —
Максвелла и чисто радиационные поля, для которых к является
собственным вектором тензора Rabt совместны с группой движений, действующей на N3. Согласно теореме 7.1 такие пространства-времена алгебраически специальны и к является кратным главным изотропным направлением тензора Вейля. Идеальные жидкости (с ц+рт^О) исключаются условием Rabkakb=0.
Теперь на основе формализма Ньюмена — Пенроуза (см. гл. 7) проанализируем уравнения Эйнштейна — Максвелла. Для спиновых коэффициентов и компонент тетрады имеем
р=а=и=0, Z=Z=0, т==а+Р; фоо=ф01=ф02=0, V0=V1=O, R= 0 (21.9)
(к — градиент). Изотропную тетраду выберем таким образом, чтобы ее производная Ли вдоль |а была_равна нулю (инвариантный базис в N3). Тетрадные векторы-к, ш, ш являются линейными комбинациями (с непостоянными коэффициентами) векторов Киллинга |а- Таким образом, внутренние производные D, б, б от спино-
214
вых коэффициентов и тетрадных компонент полевых тензоров дают нуль. При этих упрощениях и при учете (21.9) уравнения Ньюмена — Пенроуза (7.30), (7.43) и уравнения Максвелла (7.48) имеют вид:
тє=0; тР=0; тФі=0. (21.10)
Если мы предположим, что т=5^0, то є=р=Фі=0 и уравнения
(7.39), (7.44)
