Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
19.2. Решения для идеальной жидкости
Во всех известных решениях для вращающейся идеальной жидкости вектор 4-скорости жидкости удовлетворяет условию циркулярное™ (17.11):
Ua=(-ЯГ1/2 (5е +Qtf) = (-Hrll2SArA\ (19.24) H^XabSaSb1 Xab = FJiea- Sa = (1,Q).
При этом существуют 2-поверхности, ортогональные орбитам группы (см. § 17.2), и метрику можно записать в виде
ds2=e~^[e2k(d92+dz2) + W2d<f2]—e^(dt+Adify. (19.25)
Если угловая скорость системы Q (относительно бесконечности) постоянна, то система вращается как твердое тело, иначе говоря, движение жидкости явдяется бессдвиговым и не расширяющимся:
о = O= 0<г=>ы(в. 6) + м(ам6) =0. (19.26)
Общий случай (Ql0=^=O) соответствует дифференциальному вращению.
19.2.1. Общая метрика для пыли
Все стационарные метрики для вращающейся пыли, удов летворяющие условию (19.24), известны в квадратурах [Winiccu 1975)]. Следуя этой работе, подставим в уравнения (17.24) 198
(19.27)
Учтем также соотношение
Tab.b = Q^SASBKAB,a=0. Если последнее равенство переписать в виде tf,a=2r|Q,a; Т1 = Х12+Й^22,
(19.28)
(19.29)
то мы увидим, что в случае дифференциального вращения как Ti, так и ?2 являются функциями Я. Произвольная функция ї|=їі(Я) определяет дополнительную функцию P=P (H) как
и выражение для плотности массы ц. Так как функция W удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа (19.32), возьмем в метрике (19.25) W=р. (Случай W= 1 не допускает истолкования <р как азимутальной координаты.) Остальные уравнения поля, следующие из (17.23) — (17.25), либо определяют конформный множитель e2ft интервала (19.25), либо удовлетворяются в силу соотношений
(19.27) и (19.28).
Чтобы построить метрики для пыли, необходимо 1) выбрать функцию Ti=Ti (H) и 2) задаться аксиально-симметричным решением у уравнения для потенциала Ду=0 в плоском 3-пространстве. Если заданы функции у=у (р, z) и т|=т|(Я), из (19.30) можно получить P=P (H), из (19.31)—функцию рй/,2+2ті—/ r\H~xdH, а значит, и H=H(р, z); наконец, из (19.29) найти угловую скорость ?2. Тогда будут известны полностью все скалярные произведения векторов Киллинга:
Конформный множитель е2к можно определить через криволинейный интеграл, а плотность массы ц,— по формуле
Р,а = Я,а/ (Ну]).
Из уравнений поля (19.27) следуют соотношения:
(19.30)
W-‘ [(Pr2)l0+ (Я/л) 012/ЯЫ =Wb-MT=0; DaW,а=0
(19.31)
(19.32)
^i=i“ia=?44=tf—1 [(Я-Т1Й)2-Й2р2] =—е2и;
?Ч2 = Еа'Па=?з4=Я-1й (р2—Tl2) +Tl='—Ле217; /^22=ЛаЛо=^зз=—Я-1 (р2—Tl2) =е—2t7P2—A2G2u. (19.33)
4х0ц=тг2 [Я2р-2 (ті2/Я) ,а (ті2/Я)р2Я-2Я,0Я.“]. (19.34)
199
Приведенный выше общий класс решений для пыли включает некоторые частные случаи, публиковавшиеся ранее (например, [Maitra (1966)]).
Cm.: [ Vishveshwara, Winicour (1977); Caporali (1978),
Hoenselaers, Vishveshwara (1979)].
19.2.2. Пыль, вращающаяся как твердое тело, н решения для идеальной
жидкости
В случае твердотельного вращения (Q=Const) в (19.24) существует (временно-подобный) вектор Киллинга (линейная комбинация % и Ij с постоянными коэффициентами), параллельный 4-скорости жидкости. Этот вектор Киллинга можно отождествить с %=&t (сопутствующая система).
В сопутствующих координатах (19.25) уравнения поля (16.26) —
(16.29) для тензора энергии-импульса твердотельно вращающейся идеальной жидкости принимают вид:
W -=xtpWe2k~2U; (19.35а)
?/ с. + (2W)-'(и, +?/_Г <) +
+4- сЛд=*. + e2ft_2U/4/4; (19.356)
И _ - (2W)-' (Л ,W_+A.W' с) + 2 (Л с?/_.+AJt <) = 0; (19.35в)
W - 2W' с + 2W (U' t)* - (2W)-1 e4t/(Л с)*=0; (19.35г)
k -+U' (U/. + (2W)-teiUA' СЛ _ = (19.35д)
Закон сохранения
т\ a=OzS>P'K + (v. + p)U'i=0 (19.36)
является следствием уравнений поля (19.35). Обратно, уравнение (19.35д) следует из (19.36) и остальных уравнений системы (19.35) [Тгйшрег (1967)]. Для метрики (19.25) условие регулярности
(17.2) принимает вид
Iim [р- ‘е17-*(є-217»?"1 — е2?/Л*)1/21 = 1. (19.37)
(P-O)
В метриках для пыли (р= 0) можно положить j/2”lF=C ~|-"С U =0, и уравнения поля тогда записываются как
2(С + С)Л .С.-Л <-Лт=0;
2* с = —(С+Г)-1Hit)*; (19.38)
X0Ia = 2р - Mt <Л <е- * = 2и[а. Ь]иа; ь
Плотность массы является положительно определенной. Данный класс решения для пыли принадлежит Ван-Стокуму (van
2С0
Stockum (1937)]. Частный случай, принадлежащий этому классу, исследовался Боннором [Bonnor (1977)], который пришел к удивительному результату: вопреки механике Ньютона имеет место градиент плотности в направлении оси вращения г. (При г-*-оо плотность массы очень быстро убывает до нуля.)
Все стационарные твердотельно вращающиеся метрики с геодезическими и (или) бессдвиговыми собственными лучами (см. § 16.5) были указаны Лукачем [Lukacs (1974)]. Они аксиальносимметричны и принадлежат классу Ван-Стокума (19.38).
Сравнение уравнений (19.38) с уравнениями (18.2) для вакуумных решений Вейля приводит к заключению о существовании взаимно однозначного соответствия между статическими аксиально-симметричными вакуумными решениями и стационарными аксиально-симметричными решениями для пыли. Это утверждение является частным случаем более общей теоремы:
