Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
е24=С* (jc* - I)6' (1 - у')» (х - уГ*Ь+1)'(х +у)~' X
X Ip2 (JC2— 1) 2Ь+1—^2 ( ! —^2) 2*+1 ] . (18 33)
г— Г «-по + ») 1*ч,
[(X+ 1) (1 -у) J Л . рг (хг— Dafr+1-дг(1 — ^8) — 2\рд(х— 1)а<>(1 +у)гЬ(Х + у)
Х Рг(хг— 1)г*(Х+ 1)г + ?2(1 -</2)2*(1 -у)г
Это решение является обобщением метрики Керра для НфО и, вообще говоря, не будет асимптотически плоским.
Предельные переходы дают новые решения. В решениях TC можно стремиться к пределу q-*-1 разными путями. Если предположить, что произведение р-х остается при этом конечным, то получается только предельная метрика Керра (т=а) независимо от того, из какого значения б мы исходим. Киннерсли и Келли [Kinnersley, Kelley (1974)] рассмотрели предельный переход, при котором конечным остается рх2&~\ и ввели эту величину в качестве новой координаты. Так они получили новый класс решений
I= {(1 -Є2) 8-і [ (I +6) S- (1 -в) в] +i (r/m) 2S-1X
X [ (1 +в) S-1 + (1-Є) в-»]} {(r/m) 2S-1 [ (1 +в) S-1- (1 -в) S-' ] _
_i (1 _в2) s-i [ (1 +в) s+ (1 _в) s]}-1 (18.34)
<е =Cos 0; г и 0 — сферические координаты) для всех действительных значений параметра S. За исключением случая S=I, эти решения не являются асимптотически плоскими.
Другой предельный переход приводит к замкнутым выражениям для решений, определяемых комплексным потенциалом
г .rt+u -rf (ptjK+3 — qi + ipq(2c + 3) (I + g) ^+1] (18?*
(1+ 4j)*c+*\p*-rfc+'-q*-lpq(2c + 1)(1+7)) if] * >
Г|= (I +cos 0)/(1—cos 0)
[Cosgrove (1978)], и к варианту решения Шази — Керзона (18.4) с вращающимся источником [Cosgrove (1977)].
Уравнение Эрнста (17.37) в некоторых системах координат приводит к разделению переменных. Если предположить [Ernst (1977)], что
r=r*y*(cos0) (18.36)
(без суммирования), мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
4- (у* +? Ksin 6)-1 (sin 6Kft.,). 8+* (М-1) К*] = ftiv+Vk, в)*
(18.37)
19Э
для комплексной функции У*=У*(cos в). При k=2 это решение является частным случаем решения (18.35) для с=0.
Марек [Marek (1968)] нашел стационарное аксиально-симмет-ричное вакуумное решение, приняв
a < = Pe-2yZi(P); V2d, = d? - id,. (18.38)
что соответствует разделению переменных в уравнении Эрнста
(17.37) в канонических координатах Вейля:
Г=е~тг#т(р). (18.39)
Нетривиальные решения типа (18.36) и (18.39) не обладают требуемыми асимптотическими свойствами (Г-»-1) при р->оо.
Cm. [Hoenselaers (1978а)].
Глава 19
Невакуумные стационарные аксиально-симметричные решения
В этой главе мы продолжим обзор стационарных аксиальносимметричных решений. Мы укажем все известные поля Эйнштейна— Максвелла и решения для идеальной жидкости, за исключением стационарных полей с цилиндрической симметрией (см. § 20.2) и отдельных полей Эйнштейна-—Максвелла, которые находят с помощью особых методов (см. гл. 30).
19.1. Поля Эйнштейна — Максвелла
19.1.1. Электростатические решения
Так как подстановка в электростатическое решение вместо потенциала х магнитостатического потенциала ф дает соответствующий магнитостатический аналог, нет необходимости в отдельном рассмотрении магнитостатического случая.
Предполагая взаимозависимость потенциалов U их вида е217= = 1—2cx~hx2 IcP- с (16.63)] и аксиальную симметрию, Вейль [Weyl (1917)] получил свой класс решений (класс электровакуума Вейля). (Для этих решений источники обладают постоянной плотностью удельного заряда, см. § 16.6.3.) Для аксиально-симметрич-ных электростатических полей Эйнштейна — Максвелла соотношение (17.32) принимает вид
Л t = (C+l)(f/'ft-e-2Vlt). (19.1)
так что функцию k можно просто построить для решений Вейля с помощью решения Y уравнения для потенциала ДУ=0:
k с = Ih(С+ CjY. cV^l); *>t = 0 (с2 = I). (19.2)
19Г
При Ca=I решения Вейля сводятся к решениям Папапетру — Мад-жумдара (см. § 16.7), обладающим аксиальной симметрией. В смысле подстановки (17.48) класс электровакуума Вейля соответствует классу Папапетру (см. § 18.3). Сферически-симметрнч-иое решение из класса электровакуума Вейля — это общеизвестное решение Райснера — Нордстрема (13.21). В канонических координатах Вейля оно имеет вид:
к—т ^<19-3>
<см., например, [Gautreau е. а. (1972)]).
Xepльт [Herlt (1978)] нашел новый класс решений, отличающийся от класса Вейля и включающий подкласс асимптотически плоских решений. Гравитационный и электростатический потенциалы в этом случае можно найти с помощью любого действительного решения Q линейного дифференциального уравнения
Ч ~ P~'Q, p+Q. zz =0 (19.4а)
ло соотношениям
C2y = (Q-1^G)*; Z = Q-'-G;
(19.46)
G=Qtf (P(Q./+О. ,eJ-QQJ-'.
Функцию k в метрике можно получить из соотношения (19.1). Вообще говоря, решения, принадлежащие классу Херльта (19.4), относятся к невырожденному типу I по Петрову. Этот класс был получен приложением техники генерирования (см. § 30.4) к ком* плексному классу Ван-Стокума (18.23). В литературе уже были известны некоторые частные решения из класса (19.4). Например, для получения решения Боииора [Bonnor (1966)] (30.57) для массы, обладающей магнитным дипольиым моментом, функцию Q лужно выбрать в виде
