Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Стационарные цилиндрически-симметричные поля рассматриваются в § 20.2, а нестационарные — в последующих разделах.
20.2. Стационарные цилиндрически-симметричные поля
Стационарные цилиндрически-симметричные поля являются пространствами-временами, однородными на гиперповерхности (см. гл. 11); оии допускают абелеву группу G3, действующую на временно-подобных орбитах T3, причем соответствующие три век-їора Киллинга равны %=dt, ц=<?<(. и ?=дг. О решениях с группой G3 на T3 см. также гл. 11.
Стационарные цилиндрически-симметричные решения можно получить либо как частные случаи стационарных аксиально-сим-метричных полей (с векторами Киллинга | и ц), либо как частные случаи общих цилиндрически-симметричных полей (с векторами Киллинга ц, ?), потребовав наличия третьей симметрии.
Вакуумные решения. Общее стационарное цилиндрически-сим-метричное вакуумное решение записывается как
ds*=e~2U [е*‘ (dp* + dz*) + р'df*] - е2У (dt + Adf)*;
е2У=р(а1рп + а,р-я), n'a&t= — Сш;
л— с Pn і р. 2*-я/ <п*-1)/2 X20 7,
Л — nat а.р'Ч-вгр-» -rD' е —р *
204
Входящие сюда комплексные постоянные следует выбрать таким образом, чтобы метрика была действительной. Константа п может быть либо действительной, либо мнимой, и соответствующие решения относятся соответственно к классу Вейля (см. § 18.1) и к классу Льюиса (см. § 18.4). Цилинд шчески-симметричное гравитационное поле внутри вращающегося юлого цилиндра рассмат-жвали Дэвис и Каплан [Н. Davies, apian (1971)] и Фрэланд Frehland (1972)] *. Оказалось, что .ребование регулярности
17.2) на оси симметрии допускает только плоское пространство-время. Статическое вакуумное решение [Levi-Civita (1917—1919)]
ds*= р~2т ІР2тї (dp1 + dz5) -J- P*<V] - P*mdt* (20.8)
является частным случаем метрики (20.7). Эта метрика будет плоской, если т=0,1, и типа D по Петрову — при от= 1/2, 2 и (-^l). Метрика (20.8) совпадает с решением Казнера (11.51).
Поля Эйнштейна — Максвелла. Имеется три разных типа статических цилиндрически-симметричных полей Эйнштейна — Максвелла: 1) с азимутальным магнитным полем (обусловленное осевым током); 2) с продольным магнитным полем (обусловленное азимутальными токами) и 3) с радиальным электрическим полем (обусловленное аксиальным распределением заряда). Соответствующие метрики суть:
1) ds2 = P2mlG1 (dp1 — dt*) + PlG1Ap1 + G- Vfe*; (20.9а)
2) ds1 = P2miG1 (dp2 - dt1) + G-tW + P1GW; >(20.96)
3) ds1 = P2mlG1 (dp*+ AtH-PeGV - G-W (20.9в)
(G=Cipm+C2p^m; Cb C2 и от— действительные постоянные), ср. с (11.60) — (11.62)]. Исходя из условий Райнича (5.20) и (5.21), Виттен [Witten (1962)] построил и истолковал решения (20.9а),
(20.96). Суперпозиция цилиндрически-симметричных полей Эйнштейна— Максвелла рассматривалась Сафко [Safko (1977)].
Решение Мелвина [Bonnor (1954); Melvin (1964)]
ds2 = (I + B02 р2/4)2 (dp2+dz2—dt2) +
+ (l+BV/4)-W (20.10)
* Этот и смежные вопросы рассматривались также в диссертации И. Пулидо Гарсия (1973). — Примеч. перев.
205
является частным случаем (20.96) и (27.55). Гравитационное поле (20.10) возникает в «однородном» магнитном поле Во. направленном вдоль оси z. Решение Мукхерджи [Mukherji (1938)], описывающее гравитационное поле заряженной линейной массы, содержится в метрике (20.9в).
Читре и др. [Chitre е. а. (1975)] указали конкретное статическое решение
^s2=C2р-4/э ехр (а2рэ/3) (dp2—dt2) +
+p4/3d<p2+p2/3 (dz+ap2/3d<p)2 (20.11)
(а и с — постоянные), так что в (20.1) Л=ар2/3=^0, что допускает группу G3 на T3. Метрика [Wilson (1968)]
ds*=(dx,)*+(l/x,)(dA:*)‘+(dx*)*-(dx*-V3 Inx'dx*)* (20.12)
представляет стационарное поле Эйнштейна — Максвелла, допускающее абелеву группу G3 на T3.
Решения для пыли. Стационарные цилиндрически-симметрич-иые решения для пыли содержатся в общем классе решений, рассмотренном в § 19.2. Частный случай решения Виникура для ци-линдрически-симметричной модели был найден в работе [Vishveshwara, Winicour (1977)]. Майтра [Maitra (1966)] указал решение для пыли, вращающейся нетвердотельио (с 6=0, но оф ?=0). Общее стационарное цилиндрически-симметричное решение для пыли исследовал Кинг [King (1974)]. Переходя в классе Ваи-Стокума (19.38) к частному случаю цилиндрической симметрии, получаем меїрику
ds2=e ~a'f'(dp2-\-dz2) +p2d<p2— (df+ap2d<p)2, (20.13)
которую можио сшить с вакуумным решением (20.7) при определенных значениях параметров. Замечательно, что внешнее поле статично, хотя пыль находится во вращении. *
Решения для идеальной жидкости. Исходя из общего цилиндрически симметричного статического интервала
ds*= dp*+ е28 (p)d<p*+е21 (p)<fe* - е25 wdt% (20.14)
и вводя новые функции C=p + Y + S и и=&ЗІ, Ивенс [Evans 1977)} свел задачу о поле идеальной жидкости к решению линейного диф-
* Пулидо Гарсия [Gareia (1973)] показал, что сшивание со статическим внешним полем возможно лишь при ограничениях на угловую скорость вращения источника и его поперечник. Если R— значения р в метрике (20.13) на поверхности сшивания, то при 2#|а|<1 вакуумное поле статично, при 2R\a\^l оно существенно стационарно. — Примеч. перев.
