Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Функции f и F айалитичны по ? и произвольным образом зависят от запаздывающего времени и. Для чисто радиационных полей Я ограничено только условием H ,.^>0-
В общем случае группа Gi на Ni, генерируемая вектором Киллинга k=dv, представляет собой максимальную группу движений, но при различных специально выбранных Я существуют группы более высоких размерностей. Для неплоских пространств-времен
(21.38) уравнения Киллинга дают:
E = (ІК + р (и)) д, + (—і К"+ р (и)) <?_+ (си -J- d) ди +
+ (-си + f(и) С + р (и) Г+ а (и)) dv; (21.43)
(W) + 2сН +]3 (и) С + р (u) С + а (и) = 0,
где Ь, с, d — действительные постоянные; а(и) и р(и)—действительная и комплексная функции соответственно.
Элерс и Кундт [Ehlers, Kundt (1962)] исследовали вакуумные pp-волны и иашли все возможные форму функций H=f(%, «) + *И(?, и) и I и совместные с (21.43). В табл. 21.1 дается резюме по этим результатам. Отметим, что в каждом случае Я и |а определяются с точностью до преобразований (21.39).
рр-Волны с f=f(%) и F=F(E1), не зависящими от и, допускают абелеву группу G2 (векторы Киллинга ди, dv) на T2 (табл. 21.1). Эти решения относятся к случаю W= 1, исключенному из рассмотрения при исследовании стационарных аксиально-симметричных полей с метрикой (17.15). Уравнения Эйнштейна — Максвелла
(17.26) — (17.30) решены прн W=\, Е=Е(%), Ф=Ф(?). Гофман [Hoffman (1969b)] рассмотрел случай для вакуумных полей.
Сравнивая формулы C*abcd=2y?iVabVcd И F*ab=202Vab, можно ожидать, что компонента тензора Вейля V4 для вакуумной рр-волны и компонента Фг тензора Максвелла для электромагнитной волны допускают аналогичную физическую интерпретацию. Записывая Чг4=Ле1в, Л>0, назовем А амплитудой, а 0 будем ассоциировать с плоскостью поляризации в каждой точке пространст-
220
Tпблицп 21.1. Классы симметрий вакуумных рр-волн
ds1 = ZdKdT — Idudv — 2 [f (?, и) + J (Т. u)]du?
, f (С. U) Группа Орбвта Векторы Киллинга
f(S. и) G1 Ov
Uj2 (К, Uix) ог Ti dv, udu—vdv — ix (Wc — Ъд~)
f (?еи“) а2 T2 dv, ди — ix(Wc — W-)
А (а) In К Gs N2 dv, і (Wc -- W^-) + 2 j Im А(u)dudv
аиг In S G, т, d0, і (Wc-Wr), udu-vdv
In? 0, T1 dv i(Wc — Wr), ди
е2хС G, T3 ди> dl-\-d— — x(udu — vdv)
G3 T3 dv ди. 1 (Ц — Wc-) + х {U'}u — vdv)
А (и) K1 Gi N3 dvt Bd^ -f- Bd~ -f- KB dv -K Bdv
В + 2А (U)B=O
au2i'~2K> Gs V* uda — vdv — і* (Wc — Zd-)
о. ди— ix(W(; — Wt)
Применание. х, а, а—действительные постолнные; А (и) и А (—комплексные функции.
ва-времени [Ehlers, Kundt (1962)]. Вакуумные рр-волны с посто-янным значением 0 называются линейно-поляризованными.
В теории Эйнштейна — Максвелла плоские волны, впервые рассмотренные Болдвином [Baldwin] и Джеффри [Jeffery (1926)], определяются как pp-волны, у которых Ф"4д =0 = Ф2С .Тогда метрика имеет вид
ds* = 2dWl - 2 dudv - 2 (Л (и) C2 + А (и) С + В (и) «У dif, (21.44)
где А(и) и В (и) — комплексная и действительная функции соответственно; линейную функцию от ? и ? в H можно исключить с помощью (21.39). Плоские волны допускают группу Gs с абелевой подгруппой G3 на изотропных гиперповерхностях N3. Электромагнитный член Б(ы)Й в (21.44) не изменяет форму векторов Киллинга, приведенных в табл. 21.1 для и)—А(и)І2, но уравнение для р (и) теперь имеет вид Р+2Л(ы)Р+?(ы)Р=0. Четыре
221
произвольные постоянные интегрирования в решении этого дифференциального уравнения приводят к четырем независимым векторам Киллинга.
Плоские волны допускают <3, на Vr4, если либо А (и) = AtQ2lxu,
B(U) = Bt, либо А (и) = Aau2U~2, B(u)=Btu-*[At, B0-действительные постоянные, см. также § 10.2)].
Метрику (21.38) можно привести к виду
8мы (“):= 4fV. Iа А + (“) амаы + В (“) амаы\ (21-46)
]ам=ам(ц)—комплексная функция]. Вычисление тензора Риччи в координатной системе (21.45) дает
Для линейно-поляризованных плоских гравитационных волн получим А (и) =Const-А (и) для метрики (21.44) и g\2(u) =0 для
(21.45). Плоско-волновое решение [Brdicka (1951)]
ds2 = (I —sin ©u) dx2 + (I + sin ©u) dy2—2du dv', (21.48)
где © — действительная постоянная, описывает конформно-плоское полей Эйнштейна — Максвелла с постоянным изотропным электромагнитным полем.
Плоские волны можно интерпретировать как гравитационные поля на больших расстояниях от излучающих тел конечных размеров. Перес [Peres (1960)] и Боннор [Воппог (1969b)] рассмотрели в качестве источника плоских волн параллельный луч света. Бонди и др. [Bondi е. а. (1959)] исследовали плоские волны с теоретико-групповой точки зрения.
ds2=gMN (и) dxMdxN—2dudv, М, N= 1, 2 (21.45)
с помощью координатных преобразований
(21.47)
Часть III
АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Глава 22
Различные классы алгебраически специальных решений. Решения Ньюмена — Тамбурине
22.1. Решения типа II, D, III или N по Петрову
Многие из известных точных решений уравнений Эйнштейна являются алгебраически специальными, т. е. принадлежат к типу II, D, III, N или 0 по Петрову. Один общий метод нахождения таких метрик (кроме решений, относящихся к типу 0) начинается с рассмотрения изотропной конгруэнции, определяемой вырожденным главным изотропным направлением (ср. с § 4.3, 7.5). Этот Таблица 22.1. Различные частные случаи алгебраически специальных (но не конформно-плоских) решений, удовлетворяющих условиям (22.1)—(22.3), и номере глав, в которых они рассмотрены
