Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
CO = 0 Метрики Керра—Шил да (ю = 0 и » Ф 0)
е^о (Робинсон- Траутман) 8 = 0- (Кундт) V ^ Q
Вакуум Гл. 23, 24 Гл. 27 Гл. 23, 25 Гл. 28
Поля Эйнштейна— Максвелла и чистого излучения Гл. 23, 24 Гл. 27 Гл. 23, 26 Гл. 28
раздел, в частности табл. 22.1, дает краткий обзор различных частных случаев, которые возможны при таком подходе. Большинство из известных решений типа II, D, III и N, являясь алгебраически специальными
T0==Y1=O, (22.1)
обладают тем общим свойством, что кратный изотропный собственный вектор к тензора Вейля является геодезическим и бессдви-
говым
х=а=0, (22.2)
а тензор Риччи удовлетворяет условиям
Rabkakb=Rabkamb=Rabmamb=0 (22.3)
223
(определение комплексного изотропного вектора m см. в § 3.2). Заметим, что в силу теоремы Гольдберга — Сакса и ее обобщений (см. § 7.5), теоремы 7.4 н следствия из нее, эти три группы предположений не являются независимыми. В частности, все алгебраически специальные вакуумные решения и все изотропные поля Эйнштейна — Максвелла подчиняются условиям (22.1) — (22.3).
Большая часть материала, представленного в главах по алгебраически специальным решениям, касается решений, которые удовлетворяют условиям (22.1)-(22.3). Дальнейшее подразделение этих решений зависит от комплексного расширения р векторного поля к (см. табл. 22.1):
р=—(0+i©). (22.4)
Давайте теперь рассмотрим те решения, которые не охватываются условиями (22.2), (22.3), т. е. решения, которые принадлежат типу II, D, III или N по Петрову, но когда одно ив условий (22.2),
(22.3) или оба не выполняются.
Для полей Эйнштейна — Максвелла с неизотропным электромагнитным полем мы должны различать два случая: два собственных вектора максвелловского поля отличны от кратных изотропных собственных векторов тензора Вейля (случай неколлинеарных векторов), или, по крайней мере, один из них параллелен вырожденному изотропному собственному вектору тензора Вейля (случай коллинеарных векторов).
В случае неколлинеарных векторов уравнения (22.3) не удовлетворяются. Известно лишь несколько решений такого типа. Решения типа III с изотропным кратным собственным вектором к, не имеющим вращения, были рассмотрены Каэном и Спелкенсом [Cahen, Spelkens (1967))’, а общее решение типа N (которое, как оказалось, удовлетворяет условию х=а=©=0) было найдено Секерешем [Szekeres (1966b)], Каэном и JIepya [Cahen, Leroy (1965, 1966)]. Как показал Секереш, оно имеет вид (где &a=ui0):
ds* = cos* ar (dx* + dt/*) — 26 (2r + a~1 sin 2ar) dudx — Adudr -j-
+ 4a_ 2 (26* sin*«r — r2e*" — raa% u) du*; a(x, u) = e“ cth [e“j; -)- f (u)];
(22.5)
b(x, u)=g (u) e“ sh \zvx -)- f («)]. .
В случае коллинеарных векторов (22.3) удовлетворяется по определению. Как показано в § 7.5, тождества Бианки дают
(2Х.Ф.Ф, + ЗЧГ,)о=0 = (—2х0Ф,ф; + 3V,) х, (22.6)
так что уравнение (22.2) может не удовлетворяться только в случае решений типа II (или D) по Петрову при определенном постоянном отношении между Y2 и Ф,ФЬ причем х или а должны быть отличны от нуля [заметим, что в силу (6.32) из х=р=0 сле-
224
дует ог=0]. Случай х=0, аФО был исключен Козажевским [Ko-zarzewski (1965)], так что остается изучить только случай X=^O1 сг=0. Если два изотропных вектора решения типа D коллинеарны собственным векторам тензора Максвелла, то они оба должны
I
быть геодезическими и бессдвиговыми [Plebanski, Hacyan (1978)].
В случае полей чистого излучения опять необходимо различать случаи коллинеарных и неколлинеарных вехторов. До сих пор рассматривался только случай коллинеарных векторов (метрика типа N общего вида всегда относится к этому случаю: Плебаньский (частное сообщение) и Урбантке [Urbantke (1975)]). В силу теорем, приведенных в § 7.5, в случае коллинеарных векторов все решения типа II, D или III имеют геодезический и бессдвиговый вектор к. Следовательно, только алгебраически специальные поля чистого излучения в случае коллинеарных векторов, не охватываемые условиями (22.1), (22.2), принадлежат к типу N. Среди компонент тензоров Вейля и Риччи для таких полей типа N только Y4 и /?зз=х0Ф2=2Ф22 соответственно отличны от нуля. Тождества Бианки (7.66), (7.69) и (7.70) в этом случае дают х=0 и
рФ22=аФ4, (22.7)
а уравнения (3.23) и полевые уравнения означают:
^414'Г4, А (Га, —[~ Г43) = 0;
<*(Гг, + Г43) + 2(ГзгЛГ41)=0;
^r32 - Г32 Д (Ttl + ГJ = (о3 Л (*„*•* + V)- (22.8)
Из (22.7) видно, что решения с а=0 принадлежат к классу Кундта.
Полевые уравнения (22.8) для типа N исследованы Плебань-ским (частное сообщение). Подробно для аФ0 он получил следующие результаты (случай а=0 см._в_§ 27). После подходящего выбора изотропной тетрады (ш, m, 1, к), где к не меняется, уравнения (22.8) дают
T21 = O; Г34 =0; dr41 = 0; Г„ A^32 = O (22.9)
(это также верно для о=0). Дальнейшее интегрирование зависит от того, действительно, комплексно или равно нулю Г4ь В случае Г41=0 (=> р=а=т=0) получаем pp-волны (см. § 21.5). Если Г4і действительно, решениями с ненулевым сдвигом а являются (в действительных координатах у, и, г, v):
